2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение29.09.2017, 00:09 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Есть ли требование, что столбцы матрицы, полученной из $A$ перестановкой элементов (давайте всё-таки эту матрицу обозначать буквой $B$) должны получаться циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$ до перестановки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение29.09.2017, 00:29 


26/09/17
17
svv в сообщении #1251665 писал(а):
Есть ли требование, что столбцы матрицы, полученной из $A$ перестановкой элементов (давайте всё-таки эту матрицу обозначать буквой $B$) должны получаться циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$ до перестановки?


Да, условие на перестановку элементов (сохранение свойств $A$) может быть сужено сформулировано таким образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение19.10.2017, 13:43 


26/09/17
17
svv в сообщении #1251665 писал(а):
Есть ли требование, что столбцы матрицы, полученной из $A$ перестановкой элементов (давайте всё-таки эту матрицу обозначать буквой $B$) должны получаться циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$ до перестановки?

С учетом вопросов заинтересованных участников выкладываю уточненную формулировку задачи с примером:
$A$ и $B$ - неотрицательные вещественные матрицы одного порядка, в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом одного и того же первого столбца.
Пример:

$A=\begin{bmatrix}0&0\\1&1\\2&2\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&2\\2&0\end{bmatrix}$

Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение20.10.2017, 21:39 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
maximkarimov в сообщении #1256891 писал(а):
Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.
К сожалению, это (подчёркнутое мной) тоже неверно. :-(
$A=\begin{bmatrix}3&3\\4&4\end{bmatrix}\quad\quad AA^T=\begin{bmatrix}18&24\\24&32\end{bmatrix}\quad\quad\chi_{AA^T}(\lambda)=\lambda^2-50\lambda$
$B=\begin{bmatrix}5&5\\0&0\end{bmatrix}\quad\quad BB^T=\begin{bmatrix}50&0\\0&0\end{bmatrix}\quad\quad\chi_{BB^T}(\lambda)=\lambda^2-50\lambda$
Вы не расстраивайтесь, задачка всё равно интересная. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение20.10.2017, 21:59 


26/09/17
17
svv в сообщении #1257361 писал(а):
задачка всё равно интересная

Согласен, очень интересная! Обещаю показать, откуда такие матрицы берутся!
Но Вы снова не поняли условие - в приведенном Вами примере столбцы в матрице $B$ не являются циклическим сдвигом того же самого столбца (первого), что и в матрице $A$ (как указано в условии). Даже не знаю как еще переформулировать, чтобы избежать двоякого толкования)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение20.10.2017, 22:02 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Правильно, не являются. Хотя, в соответствии с утверждением, должны являться, раз характеристические полиномы совпадают.

-- Пт окт 20, 2017 22:06:01 --

maximkarimov в сообщении #1257370 писал(а):
Даже не знаю как еще переформулировать, чтобы избежать двоякого толкования)))
Возможно, так?
«...в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение20.10.2017, 22:09 


26/09/17
17
svv в сообщении #1257373 писал(а):
должны являться


Утверждение высказано только в отношении матриц, столбцы которых являются циклическими сдвигами ОДНОГО И ТОГО ЖЕ столбца. Ну посмотрите мой пример - в нем каждый столбец матрицы $A$ и матрицы $B$ является циклическим сдвигом одного и того же столбца. А у Вас - не так.

-- 20.10.2017, 23:11 --

svv в сообщении #1257373 писал(а):
«...в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$


Точно! Спасибо! Что-то я с самого начала с формулировкой перемудрил)))

-- 20.10.2017, 23:15 --

Итак, надеюсь финальная формулировка:
$A$ и $B$ - неотрицательные вещественные матрицы одного порядка, в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$.
Пример:

$A=\begin{bmatrix}0&0\\1&1\\2&2\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&2\\2&0\end{bmatrix}$

Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение21.10.2017, 12:25 


26/09/17
17
Эквивалентная формулировка:
$A$ и $B$ - неотрицательные вещественные матрицы с равным количеством строк, в которых каждая строка является произвольным циклическим сдвигом первой строки матрицы $A$.
Пример:

$A=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&1&2\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&0\end{bmatrix}$

Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение23.10.2017, 23:25 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Контрпример:
$A=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&2&3\\3&3&1\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1&1&3\\2&2&1\\3&3&2\end{bmatrix}$
Характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ совпадают, но $A$ нельзя получить из $B$ перестановками строк и столбцов.

(Подробнее)

Т.к. матрицы квадратные, $\chi(AA^T)=\chi(BB^T)$ эквивалентно $\chi(A^TA)=\chi(B^TB)$, а последнее справедливо потому, что $A^TA=B^TB$.

Насчёт невозможности перевести $B$ в $A$ перестановками. Достаточно заметить, что при любых перестановках строк и столбцов $B$ сохраняется свойство «одна из строк матрицы содержит две единицы и тройку», которым не обладает $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение24.10.2017, 13:17 


26/09/17
17
svv в сообщении #1258433 писал(а):
Контрпример


Да, это корректный контрпример. А мое доказательство содержало огромную "дырку".
Я все же сохраняю надежду, что утверждение верно в отношении более узкого класса объектов (который я изучаю). Если позволите, то вместо строгого определения последнего (которое довольно громоздкое) я попробую неформально сформулировать дополнительные условия на первый столбец матрицы $A$:

Пусть в некоторой вершине простого графа-цикла расположен элемент $a$ (метка). Первый столбец матрицы $A$ - упорядоченное в порядке смежности вершин графа множество чисел, каждое из которых равно минимальной длине простого пути от вершины, в которой расположена "метка" до соответствующей вершины графа. Пример:

$[1 0 1 2]$ - первая строка матрицы $A$ для графа с четным числом вершин.
$[2 1 0 1 2]$ - первая строка матрицы $A$ для графа с нечетным числом вершин.

Если утверждение неверно с учетом такого сужения - пойду в хозяйственный магазин за веревкой и мылом!)))
P.S. Матрицы $A$ и $B$ получаются, если в вершинах графа произвольным образом расположить несколько элементов $a$ (в том числе несколько элементов $a$ могут быть расположены в одной и той же вершине).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение25.10.2017, 09:27 


26/09/17
17
maximkarimov в сообщении #1258560 писал(а):
P.S. Матрицы $A$ и $B$ получаются, если в вершинах графа произвольным образом расположить несколько элементов $a$ (в том числе несколько элементов $a$ могут быть расположены в одной и той же вершине).

Иными словами, если одинаковое количество элементов $a$ (меток) разместить в вершинах простого графа-цикла РАЗЛИЧНЫМ образом (с точностью до инверсии и сдвига вершин графа), то мы получим матрицы $A$ и $B$, у которых одинаковое количество строк (равно количеству вершин), одинаковое количество столбцов (равно количеству меток), но характеристические многочлены $AA^T$ и $BB^T$ РАЗЛИЧНЫ (не равны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение25.10.2017, 21:21 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Всё понятно. :-) Я, на самом деле, с самого начала всё это представлял наглядно.

Для очень специального вида матриц, который Вы описали, вполне возможно, Ваше утверждение справедливо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение25.10.2017, 22:52 


26/09/17
17
svv в сообщении #1259030 писал(а):
Для очень специального вида матриц, который Вы описали, вполне возможно, Ваше утверждение справедливо.

С одной стороны действительно можно сказать, что матрицы очень специального вида и потому задача "малоинтересна" (специальна). С другой - отображение в матрицы такого вида может быть определено (существует) для любых объектов, описываемых на языке теории категорий - имеется декартово произведение двух множеств $A$ и $B$ и функция, которая каждой паре элементов, один из которых принадлежит множеству $A$, а другой - множеству $B$, ставит в соответствие некоторое число. Иными словами - задача имеет очень общий характер, а значит:
svv в сообщении #1257361 писал(а):
задачка всё равно интересная

Надеюсь, что Вы не утратили к ней интерес. Лично мне самостоятельно с ней похоже уже не справиться.(((

-- 26.10.2017, 00:16 --

svv в сообщении #1259030 писал(а):
Я, на самом деле, с самого начала всё это представлял наглядно.

Это очень интересно. Для всех, кому я объяснял эту задачу до Вас, это было самое трудное место (отображение графа в такую матрицу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение26.10.2017, 03:50 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Ответил в личном сообщении.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: follow_the_sun


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group