Доказать свойство матриц специального вида

[svv]

Есть ли требование, что столбцы матрицы, полученной из $A$ перестановкой элементов (давайте всё-таки эту матрицу обозначать буквой $B$) должны получаться циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$ до перестановки?

[maximkarimov]

svv в сообщении #1251665 писал(а):

Есть ли требование, что столбцы матрицы, полученной из $A$ перестановкой элементов (давайте всё-таки эту матрицу обозначать буквой $B$) должны получаться циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$ до перестановки?

Да, условие на перестановку элементов (сохранение свойств $A$) может быть сужено сформулировано таким образом.

[maximkarimov]

svv в сообщении #1251665 писал(а):

Есть ли требование, что столбцы матрицы, полученной из $A$ перестановкой элементов (давайте всё-таки эту матрицу обозначать буквой $B$) должны получаться циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$ до перестановки?

С учетом вопросов заинтересованных участников выкладываю уточненную формулировку задачи с примером:
$A$ и $B$ - неотрицательные вещественные матрицы одного порядка, в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом одного и того же первого столбца.
Пример:

$A=\begin{bmatrix}0&0\\1&1\\2&2\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&2\\2&0\end{bmatrix}$

Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.

[svv]

maximkarimov в сообщении #1256891 писал(а):

Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.

К сожалению, это (подчёркнутое мной) тоже неверно.
$A=\begin{bmatrix}3&3\\4&4\end{bmatrix}\quad\quad AA^T=\begin{bmatrix}18&24\\24&32\end{bmatrix}\quad\quad\chi_{AA^T}(\lambda)=\lambda^2-50\lambda$
$B=\begin{bmatrix}5&5\\0&0\end{bmatrix}\quad\quad BB^T=\begin{bmatrix}50&0\\0&0\end{bmatrix}\quad\quad\chi_{BB^T}(\lambda)=\lambda^2-50\lambda$
Вы не расстраивайтесь, задачка всё равно интересная.

[maximkarimov]

svv в сообщении #1257361 писал(а):

задачка всё равно интересная

Согласен, очень интересная! Обещаю показать, откуда такие матрицы берутся!
Но Вы снова не поняли условие - в приведенном Вами примере столбцы в матрице $B$ не являются циклическим сдвигом того же самого столбца (первого), что и в матрице $A$ (как указано в условии). Даже не знаю как еще переформулировать, чтобы избежать двоякого толкования)))

[svv]

Правильно, не являются. Хотя, в соответствии с утверждением, должны являться, раз характеристические полиномы совпадают.

-- Пт окт 20, 2017 22:06:01 --

maximkarimov в сообщении #1257370 писал(а):

Даже не знаю как еще переформулировать, чтобы избежать двоякого толкования)))

Возможно, так?
«...в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$.»

[maximkarimov]

svv в сообщении #1257373 писал(а):

должны являться

Утверждение высказано только в отношении матриц, столбцы которых являются циклическими сдвигами ОДНОГО И ТОГО ЖЕ столбца. Ну посмотрите мой пример - в нем каждый столбец матрицы $A$ и матрицы $B$ является циклическим сдвигом одного и того же столбца. А у Вас - не так.

-- 20.10.2017, 23:11 --

svv в сообщении #1257373 писал(а):

«...в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$.»

Точно! Спасибо! Что-то я с самого начала с формулировкой перемудрил)))

-- 20.10.2017, 23:15 --

Итак, надеюсь финальная формулировка:
$A$ и $B$ - неотрицательные вещественные матрицы одного порядка, в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$.
Пример:

$A=\begin{bmatrix}0&0\\1&1\\2&2\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&2\\2&0\end{bmatrix}$

Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.

[maximkarimov]

Эквивалентная формулировка:
$A$ и $B$ - неотрицательные вещественные матрицы с равным количеством строк, в которых каждая строка является произвольным циклическим сдвигом первой строки матрицы $A$.
Пример:

$A=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&1&2\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&0\end{bmatrix}$

Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.

[svv]

Контрпример:
$A=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&2&3\\3&3&1\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1&1&3\\2&2&1\\3&3&2\end{bmatrix}$
Характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ совпадают, но $A$ нельзя получить из $B$ перестановками строк и столбцов.

(Подробнее)

Т.к. матрицы квадратные, $\chi(AA^T)=\chi(BB^T)$ эквивалентно $\chi(A^TA)=\chi(B^TB)$, а последнее справедливо потому, что $A^TA=B^TB$.

Насчёт невозможности перевести $B$ в $A$ перестановками. Достаточно заметить, что при любых перестановках строк и столбцов $B$ сохраняется свойство «одна из строк матрицы содержит две единицы и тройку», которым не обладает $A$.

[maximkarimov]

svv в сообщении #1258433 писал(а):

Контрпример

Да, это корректный контрпример. А мое доказательство содержало огромную "дырку".
Я все же сохраняю надежду, что утверждение верно в отношении более узкого класса объектов (который я изучаю). Если позволите, то вместо строгого определения последнего (которое довольно громоздкое) я попробую неформально сформулировать дополнительные условия на первый столбец матрицы $A$:

Пусть в некоторой вершине простого графа-цикла расположен элемент $a$ (метка). Первый столбец матрицы $A$ - упорядоченное в порядке смежности вершин графа множество чисел, каждое из которых равно минимальной длине простого пути от вершины, в которой расположена "метка" до соответствующей вершины графа. Пример:

$[1 0 1 2]$ - первая строка матрицы $A$ для графа с четным числом вершин.
$[2 1 0 1 2]$ - первая строка матрицы $A$ для графа с нечетным числом вершин.

Если утверждение неверно с учетом такого сужения - пойду в хозяйственный магазин за веревкой и мылом!)))
P.S. Матрицы $A$ и $B$ получаются, если в вершинах графа произвольным образом расположить несколько элементов $a$ (в том числе несколько элементов $a$ могут быть расположены в одной и той же вершине).

[maximkarimov]

maximkarimov в сообщении #1258560 писал(а):

P.S. Матрицы $A$ и $B$ получаются, если в вершинах графа произвольным образом расположить несколько элементов $a$ (в том числе несколько элементов $a$ могут быть расположены в одной и той же вершине).

Иными словами, если одинаковое количество элементов $a$ (меток) разместить в вершинах простого графа-цикла РАЗЛИЧНЫМ образом (с точностью до инверсии и сдвига вершин графа), то мы получим матрицы $A$ и $B$, у которых одинаковое количество строк (равно количеству вершин), одинаковое количество столбцов (равно количеству меток), но характеристические многочлены $AA^T$ и $BB^T$ РАЗЛИЧНЫ (не равны).

[svv]

Всё понятно. Я, на самом деле, с самого начала всё это представлял наглядно.

Для очень специального вида матриц, который Вы описали, вполне возможно, Ваше утверждение справедливо.

[maximkarimov]

svv в сообщении #1259030 писал(а):

Для очень специального вида матриц, который Вы описали, вполне возможно, Ваше утверждение справедливо.

С одной стороны действительно можно сказать, что матрицы очень специального вида и потому задача "малоинтересна" (специальна). С другой - отображение в матрицы такого вида может быть определено (существует) для любых объектов, описываемых на языке теории категорий - имеется декартово произведение двух множеств $A$ и $B$ и функция, которая каждой паре элементов, один из которых принадлежит множеству $A$, а другой - множеству $B$, ставит в соответствие некоторое число. Иными словами - задача имеет очень общий характер, а значит:

svv в сообщении #1257361 писал(а):

задачка всё равно интересная

Надеюсь, что Вы не утратили к ней интерес. Лично мне самостоятельно с ней похоже уже не справиться.(((

-- 26.10.2017, 00:16 --

svv в сообщении #1259030 писал(а):

Я, на самом деле, с самого начала всё это представлял наглядно.

Это очень интересно. Для всех, кому я объяснял эту задачу до Вас, это было самое трудное место (отображение графа в такую матрицу).

[svv]

Ответил в личном сообщении.