Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок

[Someone]

caxap в сообщении #361373 писал(а):

Т. е. берём множество $\{\mathbb Q\cap [x,x+1]\mid x\in \mathbb R\}$: оно имеет мощность континуума и любые два элемента несравнимы. А $\mathcal P(\mathbb Q)$ и $\mathcal P(\mathbb N)$ изоморфны.

Я имел в виду другой вариант: для каждого действительного числа $x$ взять последовательность рациональных чисел, сходящуюся к $x$.

[caxap]

Someone
Ага... но я бы до такого не додумался. Всё равно спасибо.

[Sdy]

Хорхе в сообщении #359335 писал(а):

Да напрямую посчитать: количество разбиений на 1,2,3,4,5 множеств. Проще ничего не знаю.

(Это называется числом Белла $B_5$, если что. Есть рекуррентная формула, но не уверен, что она лучше для маленьких $n$. Можно еще через экспоненциальную производящую функцию, но для этого ее надо знать.)

Не могли бы вы показать, как осуществить разбиение, допустим, для n = 4?
У меня усиленно получается 12 разбиений, по числам Белла должно выйти 15. Да и пока не понятно, откуда вообще у этих формул растут ноги, а нужно разобраться.

[arseniiv]

См. объяснение сразу после рекуррентной формулы в https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number#Summation_formulas.

Дополняем пустое разбиение новым классом ($\binom30B_0 = 1\cdot1$ штук):
1234
Дополняем разбиение одноэлементного множества ($\binom31B_1 = 3\cdot1$ штук):
123|4 124|3 134|2
Двухэлементного ($\binom32B_2 = 3\cdot2$ штук):
12|34 13|24 14|23
12|3|4 13|2|4 14|2|3
Трёхэлементного ($\binom33B_3 = 1\cdot5$ штук):
1|234
1|2|34
1|3|24
1|4|23
1|2|3|4

[Sdy]

arseniiv
Спасибо.
Я пока пытаюсь понять вывод рекурсивной функции для чисел Стирлинга второго порядка.
Вот рассуждение для числа сочетаний для рекурсивной формулы меня в тупик не ставило. А с этими "возьмем класс, куда отнесем n-ый элемент" и класс куда не отнесем, мне пока неясно.
Понять пытаюсь по "Конкретной математике" более подброго объяснения не нашел.

[Sdy]

Все, стало ясно получение числа Стирлинга через реккурентную формулу, а как следствие и получение числа Белла как их сумму.