Минимальная сумма n-ых степеней расстояний

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1258951 писал(а):

Прямую можно записать в параметрическом виде.

Но разве это не параметрическое задание прямой?

-- 25.10.2017, 18:41 --

slavav в сообщении #1258951 писал(а):

Я предлагаю вам записать функции $x, y, z$ в явном виде и подставить их в функцию минимум которой мы ищем.

То есть подставить $x=at$ и $y=bt$?

-- 25.10.2017, 18:42 --

(здесь $t$ и есть произвольный параметр $\alpha$ о котором вы говорите)

[slavav]

Какая функция получится после подстановки? Только смените обозначения для $a$ и $b$. Они используются несколько раз.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1258960 писал(а):

Только смените обозначения для $a$ и $b$.

Ой, да, пусть это будут соответственно $u$ и $v$.

Получается такая функция

$$z = a{(ut)^p} + b{(vt)^q} + c{(1 - ut - vt)^r}$$

-- 25.10.2017, 18:52 --

Это и есть сужение?

[slavav]

Да, это сужение.
$u$ и $v$ константы в этой функции. Между ними есть связь. Какая?

[Rusit8800]

Я так понял, такая замена имеет место быть так как множества пар $(u,v)$ и $(a,b)$ изоморфны.

[slavav]

Я немного не то хотел сказать. Можно так подобрать параметризацию что $u + v = 1$.
В этом случае где находятся точки для $t = 0$ и $t = 1$?

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1258971 писал(а):

Можно так подобрать параметризацию что $u + v = 1$.

А это не нарушит изоморфизм?

-- 25.10.2017, 19:08 --

Rusit8800 в сообщении #1258972 писал(а):

В этом случае где находятся точки для $t = 0$ и $t = 1$?

Подставляя в систему $v=1-u$ получим

$$\left\{ \matrix x = ut \hfill \cr; y = (1 - u)t \hfill \cr \endmatrix \right.$$

откуда при $t=0$ $x=y=0$, а при $t=1$

$$\left\{ \matrix x = u \hfill \cr; y = 1 - u \hfill \cr \endmatrix \right.$$

[slavav]

Переводя на русский: $t = 0$ соответствует углу треугольника, $t = 1$ - точке на противолежащей стороне. $0 < t < 1$ - точки внутри треугольника.
Преобразуем $a{(ut)^p} + b{(vt)^q} + c{(1 - ut - vt)^r}$
в $(au^p)t^p + (bv^q)t^q + c{(1 - t)^r}$.
Переобозначим константы: $At^p + Bt^q + C(1 - t)^r$.

Известно что $A, B, C > 0$. $p, q, r \geqslant 2$. Что тогда можно сказать про минимум этой функции на отрезке $[0, 1]$?

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1258978 писал(а):

Что тогда можно сказать про минимум этой функции на отрезке $[0, 1]$?

Как показывает Geogebra, он является глобальным и производная в нем равна $0$.

-- 25.10.2017, 19:31 --

Не ясно только, что дает право делать подобрать параметризацию $u + v = 1$.

[slavav]

Rusit8800 в сообщении #1258979 писал(а):

slavav в сообщении #1258978 писал(а):

Что тогда можно сказать про минимум этой функции на отрезке $[0, 1]$?

Как показывает Geogebra, он является глобальным и производная в нем равна $0$.

И ещё он лежит внутри отрезка! Это самое важное.
Тогда возьмём глобальный минимум на треугольнике. Проведём через него прямую указанного вида. Глобальный минимум на треугольнике отобразится в глобальный минимум на прямой. Было доказано что глобальный минимум на прямой лежит внутри отрезка. Следовательно глобальный минимум на треугольнике лежит внутри треугольника. ЧТД.

Rusit8800 в сообщении #1258979 писал(а):

Не ясно только, что дает право делать подобрать параметризацию $u + v = 1$.

Следующее построение. Вернёмся к бариценрическим координатам $(x, y, z), x + y + z = 1$. Проведём прямую через точки $(0, 0, 1)$ и $(x_0, y_0, 0)$. Первая точка - вершина треугольника, вторая - на противолежащей стороне. Заметим что $x_0 + y_0 = 1$. Введём параметрическую прямую: $(x_0t, y_0t, 1 - t)$. Она проходит через обе точки. Обозначим $u = x_0$, $v = y_0$. Параметризация построена.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1258982 писал(а):

Тогда возьмём глобальный минимум на треугольнике.

Немного запутался. Есть треугольник, ограниченный плоскостями $x=0$, $y=0$ и $y=1-x$, а также треугольник изначальный. Какой из них?

[slavav]

Да. Треугольник - подмножество плоскости. Точка минимума на треугольнике - это точка минимума в исходной задаче.

[Rusit8800]

Просто здесь

slavav в сообщении #1258982 писал(а):

Вернёмся к бариценрическим координатам $(x, y, z), x + y + z = 1$. Проведём прямую через точки $(0, 0, 1)$ и $(x_0, y_0, 0)$. Первая точка - вершина треугольника, вторая - на противолежащей стороне. Заметим что $x_0 + y_0 = 1$. Введём параметрическую прямую: $(x_0t, y_0t, 1 - t)$. Она проходит через обе точки. Обозначим $u = x_0$, $v = y_0$. Параметризация построена.

вы рассматриваете треугольник изначальный.

-- 25.10.2017, 20:06 --

Но разве из того, что вы сказали не следует, что функция касается плоскости $z=0$ в ее минимуме?

[slavav]

Эти два треугольника - близкие родственники. Один вложен в исходную плоскость из задачи, другой в плоскость $x + y + z = 1$ в трёхмерном пространстве. Между ними установлено отображение - барицентрические координаты.
Они так сдружились в моей голове что я их не различаю.

[Rusit8800]

И пока не понятна какая здесь связь между исследованием функции на минимум и барицентрические координаты. Ведь изначально вторую задачу можно решить без использования ее связи с барицентрическими координатами.