Минимальная сумма n-ых степеней расстояний

[Rusit8800]

Так интереснее. Тогда в моей задаче будет не сумма $n$-ых степеней, а сумма разных степеней расстояний от точки до сторон треугольника, задача будет более общей.

-- 24.10.2017, 21:49 --

Это возможно сделать с помощью высшей математики?

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1258704 писал(а):

Так интереснее.

А в первоначальном варианте Вы до конца разобрались?

[Rusit8800]

Someone в сообщении #1258709 писал(а):

А в первоначальном варианте Вы до конца разобрались?

В первоначальном варианте есть такие же косяки как и в общем (в $x^{15}+y^{15}+{10^{11}}(1-x-y)^{15}$ функции минимум достигается не на области $x+y<1$, что можно увидеть в Geogebra). Но мне нужен минимум именно на этой области. Раз уж и в частном случае таких проблем не избежать, то почему бы не разобрать сразу общий случай?

[slavav]

Кажется можно. Программа такая:
Эта функция непрерывна на треугольнике. Следовательно есть глобальный минимум(ы).
Для любой точки границы можно показать что она не локальный минимум. Нужен будет анализ производных по направлениям на границе.
Следовательно глобальный минимум внутри.
ЧТД.
Ищем кандидата необходимым признаком.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1258715 писал(а):

Следовательно есть глобальный минимум(ы).

Но ведь функция $x^{19}+2y^{19}+2(1-x-y)$ является контр-примером. Глобальный минимум всей функции не совпадает с минимумом на промежутке, который я выбрал.

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1258717 писал(а):

Глобальный минимум всей функции не совпадает с минимумом на промежутке, который я выбрал.

Ну и что? Если Вас интересует треугольник, заданный неравенствами $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$, $x+y\leqslant 1$, то не надо смотреть точки вне его, хотя бы потому, что в вашей задаче они не имеют смысла.

Вообще, неплохо бы почитать учебник.

[Rusit8800]

Someone в сообщении #1258723 писал(а):

Ну и что? Если Вас интересует треугольник, заданный неравенствами $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$, $x+y\leqslant 1$, то не надо смотреть точки вне его, хотя бы потому, что в вашей задаче они не имеют смысла.

Так если приравнять производную нулю, то может попасться любая точка.

Someone в сообщении #1258723 писал(а):

Вообще, неплохо бы почитать учебник.

Может быть, но только если очень кратко.

[slavav]

Есть теорема о том что непрерывная функция на компакте достигает своих экстремумов. То есть, минимум на треугольнике есть всегда. Надо только доказать что он не на границе.

-- 24.10.2017, 22:41 --

Про учебник: там не очень кратко. Но это абсолютно необходимый инструментарий для анализа функций.
То что вы бросаетесь на эту задачу без хорошего знания производных делает вас фактически слепым, которого приходится водить за руку.

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1258725 писал(а):

может попасться любая точка

Если она не попадает в треугольник — не рассматривать её.

slavav в сообщении #1258726 писал(а):

Надо только доказать что он не на границе.

А если на границе?

[slavav]

Someone в сообщении #1258734 писал(а):

А если на границе?

Я умею доказать что она не на границе.

[Someone]

slavav в сообщении #1258735 писал(а):

Я умею доказать что она не на границе.

Замечательно.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1258726 писал(а):

Про учебник: там не очень кратко. Но это абсолютно необходимый инструментарий для анализа функций.
То что вы бросаетесь на эту задачу без хорошего знания производных делает вас фактически слепым, которого приходится водить за руку.

Просто изучать весь мат анализ для одной задачи это довольно жестко. Мне бы изучить те теоремы, знание которых необходимо и достаточно для решения задачи.

-- 25.10.2017, 07:57 --

Например теорема, которую вы только что упомянули - это теорема Вейерштрасса.

[slavav]

Воля ваша. Будем ограничиваться только необходимым.
Следущий пункт программы: проведите прямую которая пересекается с внутренностью треугольника и проходит через вершину. Задайте её (прямую) в параметрическом виде. Сузьте функцию $ax^p + by^q + cz^r$ на эту прямую. Параметр суженой функции должен быть равен единице в вершине треугольника и нулю на противолежащей стороне. Исследуйте полученную функцию на отрезке $[0, 1]$ на минимум.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1258866 писал(а):

Сузьте функцию $ax^p + by^q + cz^r$ на эту прямую.

Что значит сузить функцию на прямую? Мне известен термин сужение функции, который означают, что у данной функции уменьшают область определения. Это не определение не согласовывается с тем, что вы говорите.

-- 25.10.2017, 18:30 --

Параметрическое уравнение прямой такое

$$\left\{ \matrix x = at \hfill \cr ; y = bt \hfill \cr \endmatrix \right.$$

Здесь $a,b$ - неотрицательные числа.

[slavav]

Прямую можно записать в параметрическом виде. Например параметр $\alpha$. В барицентрических координатах можно задать прямую в виде $x = x(\alpha), y = y(\alpha), z = z(\alpha)$. Я предлагаю вам записать функции $x, y, z$ в явном виде и подставить их в функцию минимум которой мы ищем. В итоге получится функция одной переменной, которую будет легко проанализировать.