Минимальная сумма n-ых степеней расстояний

[slavav]

Это производная по x по x, по у по у и смешанная. Первые две просто вторые производные по каждой переменной в отдельности.

[Rusit8800]

Меня просто смутил индекс $2$.

-- 21.10.2017, 21:58 --

Кстати, а почему вид экстремума зависит от знака второй производной именно по $x$, а не по $y$, хотя эти переменные абсолютно равноправны?

-- 21.10.2017, 21:59 --

И еще кстати, случай 3, где экстремум может быть а может не быть - что это значит? Точка перегиба?

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1257749 писал(а):

почему вид экстремума зависит от знака второй производной именно по $x$, а не по $y$, хотя эти переменные абсолютно равноправны?

Да, равноправны. Поэтому вместо $x$ можете смело использовать $y$. Подумайте только, почему результат получится один и тот же.

[Rusit8800]

Давайте теперь точно запишем необходимые и достаточные условия строгого минимума. Пользуясь ссылкой slavav, я понял, что функция $f(x,y)$ имеет строгий минимум в $(x,y)$ тогда и только тогда, когда выполнена система:

$$\[\left\{ \begin{gathered} \frac{\partial }{{\partial x}}f(x,y) = 0 \hfill \\ \frac{\partial }{{\partial y}}f(x,y) = 0 \hfill \\ \frac{\partial }{{\partial y}}f(x,y) \cdot \frac{\partial }{{\partial x}}f(x,y) - {\left( {\frac{\partial }{{\partial xy}}f(x,y)} \right)^2} > 0 \hfill \\ \frac{\partial }{{\partial x}}f(x,y) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

-- 22.10.2017, 14:32 --

Правильно ли я понял?

-- 22.10.2017, 14:35 --

Только в 3 и 4 уравнениях частные производные 2 порядка, а не первого.

[Rusit8800]

Так?

[kotenok gav]

Да.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1257725 писал(а):

Чтобы завершить анализ надо проверить границы. Если на границах значения больше чем в найденной точке, то задача решена полностью.

Кстати, а как это проверить? Ведь границы задаются плоскостями $x=0$, $y=0$, $x=1$, $y=1$, то есть точек бесконечно много и для каждой точки по отдельности подставить ее координаты и сравнить полученное выражение с минимумом не получится.

-- 22.10.2017, 16:43 --

Аналогичный вопрос как искать локальные минимумы для $n=1$. Например ,если положить $a=b=c=1$, то локальным минимумом будут все точки внутри квадрата $(0,0,1);(0,1,1);(1,0,1);(1,1,1)$ и на границе, что подтверждается теоремой Вивиани.

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1258012 писал(а):

Кстати, а как это проверить?

Рассматриваете функцию на каждом граничном отрезке, например, $x=0$, $0\leqslant y\leqslant 1$.

[slavav]

Сообщение удалено.

[Iam]

Rusit8800,
посмотрите случай $ n \to \infty $. Думаю, что некоторые вопросы снимутся.

[Rusit8800]

Iam в сообщении #1258428 писал(а):

посмотрите случай $ n \to \infty $. Думаю, что некоторые вопросы снимутся.

Получатся нормированные барицентрические координаты инцентра. И что? Это же частный случай.

[slavav]

Я согласен с Rusit8800. Переходить к пределу по $n$ нет смысла. Интересны все $n \geqslant 2$.

[Rusit8800]

Еще очень важный момент

$$x+y<1$$

иначе точка лежит вне треугольника. Получилось, что для функции $x^{15}+y^{15}+{10^{11}}(1-x-y)^{15}$ на области $0<x<1$ и $0<y<1$ часть его графика вне области $x+y<1$ лежит ниже плоскости $z=0$, то есть сумма расстояний получается отрицательной.

-- 24.10.2017, 20:20 --

Так что надо смотреть только на ту область, которая ограничена плоскостями $x=0$, $y=0$, $y=1-x$.

[Rusit8800]

Из-за проблемы с функцией $x^{15}+y^{15}+{10^{11}}(1-x-y)^{15}$ решил сразу исследовать более общую функцию, благодаря чему задачу можно будет еще обобщить.
Вот такая задача: Найти локальный минимум функции

$$\[a{x^p} + b{y^q} + c{(1 - x - y)^r}\]$$

, где все числа действительные и $\[x,y \geqslant 0,x + y \leqslant 1,a,b,c > 0\]$.
Проблема сразу же возникает следующая - локальный минимум не совпадает с глобальным, например у функции $x^{19}+2y^{19}+2(1-x-y)$ он лежит где-то близко к точке $(1;1)$, что не входит в $x + y \leqslant 1$, да и вообще, он отрицателен, что уже невозможно. Из-за этого использовать условие равенства нулю производной для всей функции становится бесполезным.
Как быть в такой ситуации?

[slavav]

Зачем вам исследовать случай разных степеней?