Написал учебник теории категорий

[пианист]

george66 в сообщении #1241695 писал(а):

Про топос графов популярная статья https://arxiv.org/abs/math/0306394

Все-таки недостаточно (популярная) для моего уровня ;) но я понял, что это про пример 7.9.
И конечные автоматы затрагиваются..
Обязательно прочту, спасибо!
--

Цитата:

self-contained example of “combinatorial topos”, which can be extremely useful to anyone wanting to get acquainted with topos-theoretical definitions

Это конечно, но еще интереснее было бы про эффект в другую сторону ;)

[пианист]

Вопрос по примеру 10.55.
Я правильно понимаю, что подразумевается категория наборов стрелок для всевозможных пар объектов исходной категории?
Где стрелки из $\mathsf{K}(A,B)$ в $\mathsf{K}(C,D)$ задаются парами стрелок $f: C \to A, g: B \to D$ исходной категории.
И изоморфизм, соответственно, в этой категории?

[george66]

Нет, это просто изоморфизм множеств в $\mathsf{Set}$. Есть взаимно однозначное соответствие между множествами
$\mathsf{K}(D,A\times B)$ и $\mathsf{K}(D,A)\times \mathsf{K}(D,B)$
Никакой специальной категории там нет, просто $\mathsf{Set}$. Взаимно однозначное соответствие сопоставляет каждому элементу множества $\mathsf{K}(D,A\times B)$ (то есть, стрелке вида $h\colon D\to A\times B$) элемент множества $\mathsf{K}(D,A)\times \mathsf{K}(D,B)$ (то есть, пару стрелок вида $f_1\colon D\to A$ и $f_2\colon D\to B$)

[george66]

То, что Вы пишете -- это примерно категория $\mathsf{K}^{op}\times\mathsf{K}$. Только её объекты -- это просто пары объектов вроде $(A,B)$ и $(C,D)$, а стрелками из $(A,B)$ в $(C,D)$ будут именно пары стрелок $f\colon C\to A$, $g\colon B\to D$
Дальше, зафиксировав $D$, имеем два функтора из $\mathsf{K}^{op}\times\mathsf{K}$ в $\mathsf{Set}$
$F(A,B)=\mathsf{K}(D,A\times B)$
$G(A,B)=\mathsf{K}(D,A)\times\mathsf{K}(D,B)$
Эти функторы естественно изоморфны. При любых фиксированных $A,B$ получаем просто взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств (изоморфизм в $\mathsf{Set}$)

[george66]

Ой, какую фигню я написал в прошлом комментарии. Приведённые там функторы оба действуют так
$F,G\colon \mathsf{K}\times\mathsf{K}\to\mathsf{Set}$
и $\mathsf{K}^{op}$ вообще ни при чём. Предыдущий комментарий не считать здравым.

-- 06.09.2017, 11:51 --

Можно определить
$F(D,A,B)=\ldots$
$G(D,A,B)=\ldots$
тогда они будут такого типа $F,G\colon\mathsf{K}^{op}\times\mathsf{K}\times\mathsf{K}\to\mathsf{Set}$

[пианист]

Я Вас запутал ;)
Сори, в задаче прямо что изоморфизм в $\mathsf{Set}$ сказано же, это я по обыкновению только формулы, а текст мимо ушей пропустил.

[gor]

Пример 6.7.
Условие "Пусть K1 и K2 – малые категории предпорядка."
Видимо, имеет смысл ослабить до:
"Пусть K1 -малая категория, а K2 – малая категория предпорядка."

[george66]

gor в сообщении #1258732 писал(а):

Пример 6.7.
Условие "Пусть K1 и K2 – малые категории предпорядка."
Видимо, имеет смысл ослабить до:
"Пусть K1 -малая категория, а K2 – малая категория предпорядка."

Это верно, но тут на будущее пример декартово замкнутой категории (категория частично упорядоченных множеств и монотонных отображений, в ней есть "экспоненты")

[george66]

Приснилась фраза "Теория множеств не даёт молока, но всех оплодотворяет", хочу со всеми поделиться.

[Евгений Машеров]

george66 в сообщении #1260173 писал(а):

Приснилась фраза "Теория множеств не даёт молока, но всех оплодотворяет", хочу со всеми поделиться.

(Оффтоп)

Самэц, однако!

[george66]

Кстати, на arxiv.org есть два раздела "логика" -- в "Математике" и в "Computer science". И вот в математическом разделе на этой неделе две статьи, где в соавторах Сахарон Шелах и ещё две где он в названии
https://arxiv.org/list/math.LO/recent
Не пора ли гнать Шелаха? Рассказывал Денис Савельев (на прошлой неделе там была его статья, совместная с Шелахом):
идёт конференция по теории множеств на деньги чудаковатого миллионера, миллионер присутствует. Выходит Шелах и произносит вступительную речь -- вздымает руки вверх "Большие кардиналы!" Разводит в стороны "Универсум!"

[пианист]

Вопрос по упражнению 12.33. Точнее, просьба о помощи ;)
В одну сторону б.-.м. понятно, если имеем стрелку $\varphi: A \to B$, можем нарисовать:
$\xymatrix{{{1\times A}\cong A}\ar[rd]^{\varphi}\ar@{-->}[d]_{\Lambda(\varphi)\times id_A}\\{B^A \times A}\ar[r]^{ev}&B}$
откуда видно, что стрелке соответствует элемент $B^A$.
А как в обратную сторону? что-то торможу ;(

[Xaositect]

Так в обратную сторону та же самая диаграмма - если есть $\gamma \colon 1 \to B^A$, то $\mathrm{ev} \circ (\gamma \times \mathrm{id}) \circ \left< !, \mathrm{id} \right> \colon A \to B$.

[george66]

Да, по стрелке $\gamma\colon 1\to B^A$
делаем стрелку
$\gamma\times id\colon 1\times A\to B^A\times A$
и к ней приделываем $ev$
$ev\circ(\gamma\times id)\colon 1\times A\to B$

[пианист]

А, ну да, с другой стороны посмотреть ;)
Спасибо!