Брусок на вращающемся диске (нововведение)

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1256447 писал(а):

Что такое "аргумент вектора"?

Извините. Забыл ответить на ваш вопрос.

(Оффтоп)

По правилим я обязан отвечать на вопросы заслуженных, если я их вижу в темах.

Например:
имеем вектор-комплекс $r=x+iy$
$x+iy$ комплексное число, которое является координатами точки на комплексной плоскости. Линию, проведённую из начала координат к этой точке я называю вектором.
Модуль этого вектора $\sqrt{x^2+y^2}$
Этот вектор-комплекс в показательной форме:
$r=\sqrt{x^2+y^2}e^{i\varphi }$
Аргументом я называю $\varphi$ - угол между направлением из начала координат к этой точке и осью OX.
$\varphi =\arctg\frac{y}{x}$
Ваши записи я так же понимаю. В данной теме они более удобны.
Единичный вектор $e^{i\varphi }=\frac{r}{\mid r\mid }$

[Munin]

ludwig51 в сообщении #1256676 писал(а):

По правилим я обязан отвечать на вопросы заслуженных, если я их вижу в темах.

Видимо, к моим вопросам это не относится.

[Pphantom]

Для определенности: ситуация, когда участник не заметил вопрос или случайно пропустил его, не кажется мне криминальной. Для ее разрешения вполне достаточно вежливо напомнить про вопрос еще раз. Для вмешательства модератора требуется очевидное игнорирование вопроса участником, которого в данном случае не наблюдалось.

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1256676 писал(а):

имеем вектор-комплекс $r=x+iy$

Так бы и сказали: не "аргумент вектора $\vec F$", а аргумент его "вектор-комплекса" в такой-то системе координат. "Вектор-комплекс" - это комплексное число, a что такое аргумент комплексного числа - общеизвестно.

Вектор-комплекс вектора $\vec x$ на плоскости в некоторой системе координат определяется как комплексное число $x+iy$, где $x$ и $y$ - координаты вектора $\vec x$ в данной системе координат.

Непонятно только, зачем вам нужен аргумент вектор-комплекса силы трения скольжения (как я понял, в связанной системе координат).

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1256788 писал(а):

Непонятно только, зачем вам нужен аргумент вектор-комплекса силы трения скольжения

Уже не нужен. Вы записали вектор-комплекса силы трения скольжения через единичный вектор. В вашей записи не требуется аргумент этого вектора.

Но было бы интересно, если вы его приведёте.
Ваша запись в системе диска:
Привожу запись в векторной форме, так как в ней нет комплексных чисел.
$\vec{F}=-m\gamma g\frac{\vec{V}_r}{V_r}$
В комплексной форме:
$F=-m\gamma ge^{i\alpha }$ в вашей форме записи.
$\vec{F}=-m\gamma g\mathbf{e}^{i\alpha }$ в моей форме записи.
$\alpha $ - аргумент вектора F. Прошу привести формулу.
$\mathbf{e}^{i\alpha } $ у меня это единичный вектор. Поэтому F в моём нововведении это не комплексное число, а вектор.

И повторяю. В моём нововведении нет комплексных чисел. Есть только вектора.
Продолжение следует...

[arseniiv]

Фактически-то у вас там комплексные числа используются, вперемешку с векторами. (Если бы вы изобрели алгебру Клиффорда, это было бы более заметно да и выглядело бы тоже не так.)

[ludwig51]

Продолжение:

Определение векторов.
В векторной алгебре в пространстве:
радиус вектор $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$
$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ базисные векторы
В плоскости я оставляю только один базисный вектор $\mathbf{j}$, совпадающий с осью ординат.
радиус вектор в плоскости $\mathbf{r}=x+y\mathbf{j}$ в алгебраической форме.
Так как остался только один базисный вектор j, то радиус вектор можно представить в показательной форме.
$\vec{r}=r\mathbf{e}^{j\varphi }$, где
$r\mathbf $ модуль вектора, $\varphi $ аргумент.
$\tg\varphi=y/x$
Арифметические операции:
$\vec{r_1}+\vec{r_2}=(x_1+x_2)+\mathbf{j}(y_1+y_2)$
$\vec{r_1}\vec{r_2}=r_1r_2e^{j(\varphi _1+\varphi _2)}$
операция деления векторов не определена. (для комплексных чисел - определена)
Дифференцирование векторов:
$\vec{\dot{r}}=(\dot{r}+j\omega r)\mathbf{e}^{j\omega t}=\sqrt{\dot{r}^2+(\omega r)^2}e^{j(\varphi +\arctg\frac{\omega r}{\dot{r}})}$
Возведение в квадрат:
$(\vec{r})^2=r^2$

Операции с базисным вектором:
$j^2=-1$, $\frac{1}{j}=-j$
Операции с единичным вектором:
$(\mathbf{e}^{j\varphi })^2=1$, $\frac{1}{\mathbf{e}^{j\varphi }}=-\mathbf{e}^{j\varphi }$ - имеется доказательство.

(Оффтоп)

Если моё нововведение было введено до меня, то прошу привести авторитарный источник.

-- 19.10.2017, 14:57 --

arseniiv в сообщении #1256929 писал(а):

Если бы вы изобрели алгебру Клиффорда, это было бы более заметно да и выглядело бы тоже не так.

Я не изобретатель, а только рационализатор.
А комплексных чисел в моём нововведении нет. Это только похожесть.

[Metford]

ludwig51 в сообщении #1256939 писал(а):

Определение векторов.
В векторной алгебре в пространстве:
радиус вектор $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$
$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ базисные векторы
В плоскости я оставляю только один базисный вектор $\mathbf{j}$, совпадающий с осью ординат.
радиус вектор в плоскости $\mathbf{r}=x+y\mathbf{j}$ в алгебраической форме.

Как на плоскости может быть только один базисный вектор? Кроме случая коллинеарности всех векторов, которые Вы хотите рассматривать. Но Вы же не этого хотите.
А ещё прибавлять к вектору скаляр, если я правильно понимаю смысл последней записи - это как-то неправильно.

[Dmitriy40]

ludwig51 в сообщении #1256939 писал(а):

В плоскости я оставляю только один базисный вектор $\mathbf{j}$, совпадающий с осью ординат.

Вот этот момент мне непонятен. Почему только один? Или работайте в проекциях на оси (и тогда будут просто две координаты $(x,y)$), или в векторах (и тогда нужны оба орта осей aka базисных вектора) или в комплексных числах (и тогда остаётся один "лишний" коэффициент $i$, какой буквой его не обозначай). По идее все способы должны давать один и тот же результат, но какой-то из них удобнее, а какой-то понятнее (каждому по своему). Но вот смешивать их в одном доказательстве ... плохая идея! Глубоко не вникал, но впечатление что Вы постоянно смешиваете разные способы и с лёгкостью переходите от одного представления к другому или используя теоремы для разных представлений (и кажется даже не замечая этого) - возможно теряя при этом эквивалентность. Используйте что-то одно, будет понятнее.

[ludwig51]

Отвечаю на вопросы Форумчан, которые я не заметил.

Someone в сообщении #1253835 писал(а):

А откуда берётся в таком случае центростремительная сила? Взаимодействие с каким телом её вызывает?

Сила трения скольжения - не центростремительная. Это было моей ошибкой понимания.

StaticZero в сообщении #1253833 писал(а):

А куда она стремится на самом деле?

Сила трения покоя стремится к центру диска. Уже не под вопросом.

Sergey from Sydney в сообщении #1253883 писал(а):

Двигатель, который крутит диск, не дает бруску улететь с этого диска? Как это у него получается? А если диск крутится без двигателя, по инерции, кто тогда создает центростремительную силу? И если диск гладкий, почему брусок на нем не удерживается?

Это была шутка.

-- 19.10.2017, 16:04 --

Metford в сообщении #1256940 писал(а):

Как на плоскости может быть только один базисный вектор? Кроме случая коллинеарности всех векторов, которые Вы хотите рассматривать. Но Вы же не этого хотите.
А ещё прибавлять к вектору скаляр, если я правильно понимаю смысл последней записи - это как-то неправильно.

Резонный вопрос.
Посмотрите векторную диаграмму. Я её повторяю, так как не могу привести ссылку на мой пост в этой теме.


Базисный вектор j направлен по оси ординат, базисный вектор 1 направлен по оси абсцисс.
1 использовать в формулах не имеет смысла. Он равен единице.

[arseniiv]

ludwig51 в сообщении #1256939 писал(а):

А комплексных чисел в моём нововведении нет. Это только похожесть.

В общем, как ни считайте, всё равно велосипед получается. Всё хорошее в данном случае уже придумано.

Например возьмём произвольное евклидово пространство. Возьмём пару линейно независимых векторов $\mathbf i,\mathbf j$ в нём. Мы можем рассмотреть описать многие вещи насчёт плоскости $\langle\mathbf i,\mathbf j\rangle$ с помощью разложимого бивектора $B = \mathbf i\wedge\mathbf j$ (см. внешняя алгебра / алгебра Грассмана, и тут евклидовость никак не задействована), в том числе и вращение в этой плоскости — тут на внешней алгебре добавляется ещё одна операция, произведение Клиффорда, с помощью которого мы можем, например, определить экспоненту (как ряд). Квадрат $B$ получается отрицателен, и $e^B = \cos\lVert B\rVert + \frac B{\lVert B\rVert}\sin\lVert B\rVert$. Можно показать, что если $\lVert B\rVert = 1$, $e^{-B\varphi/2}\mathbf ve^{B\varphi/2}$ — это поворот $\mathbf v$ в плоскости $\langle\mathbf i,\mathbf j\rangle$ в направлении от $\mathbf i$ к $\mathbf j$ на угол $\varphi$. Дальше можно брать производные и прочее, учитывая только некоммутативность клиффордового умножения. (Комментарий: подпространство элементов вида $x + By$, где $x, y$ — скаляры, вместе с таким умножением изоморфно $\mathbb C$, и вот тут то, что вы пытались сделать. Если линейно отображать векторы $x\mathbf i+y\mathbf j$ (если $\{\mathbf i,\mathbf j\}$ — ортонормированная система, достаточно умножить слева на $\mathbf i$, т. к. тогда $B = \mathbf i\mathbf j$) в такие элементы $x + By$, поворот даже сведётся к обычному для комплексных чисел умножению того и сего, но для произвольного вектора и вращения, которое может иметь не одну инвариантную плоскость, так не сделать, потому надо сразу привыкнуть к общей формуле и не злоупотреблять указанным представлением, как делается, когда и векторы плоскости, и операторы поворота в ней засовываются в одно и то же $\mathbb C$.)

Однако в простых случаях мы можем просто обозначить оператор поворота в какой угодно интересующей нас ориентированной плоскости на угол $\varphi$ как $R(\varphi)$ и, постулировав пару очевидных вещей типа $R(\varphi)R(\varphi') = R(\varphi+\varphi')$, $\lVert R(\varphi)\mathbf v\rVert = \lVert\mathbf v\rVert$ и $\frac d{dt}R(t) = R(t+\frac{\pi}2)$, обойтись без всяких хитрых алгебраических структур (как и недопиленных велосипедов с привязкой к базису!).

[ludwig51]

Dmitriy40 в сообщении #1256941 писал(а):

Вот этот момент мне непонятен.

Посмотрите предыдущий пост. Все вектора на этой векторной диаграмме имеют вывод.
Любой вектор можно записать и в проекциях на оси координат.
Например радиус вектор $\vec{r}=\mathbf{1}x+\mathbf{j}y=x+\mathbf{j}y=re^{j\varphi }$
Проекция этого вектора на оси координат:
$r_x=x=r\cos\varphi $, $r_y=y=r\sin\varphi $

[Someone]

ludwig51 в сообщении #1256949 писал(а):

Someone в сообщении #1253835 писал(а):

А откуда берётся в таком случае центростремительная сила? Взаимодействие с каким телом её вызывает?

Сила трения скольжения - не центростремительная. Это было моей ошибкой понимания.

Насколько я помню, в тот момент, когда мой вопрос возник, речь шла о силе трения покоя. Вот более полная цитата:

Someone в сообщении #1253835 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1253735 писал(а):

Сила трения покоя или скольжения (если ЦС сила по модулю превысила силу трения покоя) в этом случае направлена от центра и уменьшает центростремительную силу.

А откуда берётся в таком случае центростремительная сила? Взаимодействие с каким телом её вызывает?

В любом случае, даже если брусок уже скользит, удаляясь от центра, то сила трения имеет компоненту, направленную к центру.

ludwig51 в сообщении #1256949 писал(а):

StaticZero в сообщении #1253833 писал(а):

А куда она стремится на самом деле?

Сила трения покоя стремится к центру диска. Уже не под вопросом.

Никуда она не стремится. Она направлена к центру.

[Metford]

Цитата:

Metford в сообщении #1256940 писал(а):

Как на плоскости может быть только один базисный вектор? Кроме случая коллинеарности всех векторов, которые Вы хотите рассматривать. Но Вы же не этого хотите.
А ещё прибавлять к вектору скаляр, если я правильно понимаю смысл последней записи - это как-то неправильно.

Базисный вектор j направлен по оси ординат, базисный вектор 1 направлен по оси абсцисс.
1 использовать в формулах не имеет смысла. Он равен единице.

Я, конечно, не математик, но меня всё же приучили к тому, что базисный элемент нельзя никогда просто брать и выкидывать. Даже если это единица хоть в каком-то смысле.
arseniiv прав: Вы пытаетесь изобрести алгебраическую структуру, которую создали лет 150 назад. А в контексте обсуждаемой задачи это стрельба из пушки по воробьям.

[ludwig51]

Someone в сообщении #1256966 писал(а):

В любом случае, даже если брусок уже скользит, удаляясь от центра, то сила трения имеет компоненту, направленную к центру.

Разумеется.
Но есть и другая компонента, которая перпендикулярна радиус вектору.

Someone в сообщении #1256966 писал(а):

Никуда она не стремится. Она направлена к центру.

Логично.

-- 19.10.2017, 17:58 --

arseniiv в сообщении #1256963 писал(а):

В общем, как ни считайте, всё равно велосипед получается

Только я от вашего велосипеда убрал ненужные ему крылья и пропеллер.