пустое множество

[Spook]

Не так давно Профессор рассказывал мне про пустые множества, в связи с этим возник вопрос: а можно ли объекты пустого множества наделять нужными нам свойствами? Например, утверждать, что все они синие? А противоречивыми свойствами? Например: все объекты пустого множества синие и вместе с тем они полностью красные?

[AD]

Ну да. Утверждения верные.

Добавлено спустя 1 минуту 41 секунду:

Периодически случаются такие казусы. Что типа кто-то доказал, что если объект A обладает свойством X, то он обладает и свойством Y, а потом кто-то доказал, что множество объектов, обладающих свойством X, пусто. Из второго утверждение тривиальным образом следует первое.

[Spook]

AD а тогда X и Y разве противоречивы?

[AD]

Да нет вроде ...

Ну это ниоткуда не следует. Хотя может случиться и так.

... третья попытка ответить внятно: Это не утверждается. Могут быть как противоречивы, так и не противоречивы.

[Бодигрим]

Нет, конечно, не противоречивы.

Upd.: AD выше выразился точнее.

[AD]

Эээ. Так. А что значит "противоречивы" вообще?

Добавлено спустя 7 минут 49 секунд:

Бодигрим писал(а):

AD выше выразился точнее.

Если б я еще понимал, что сказал ...

[Spook]

AD ну то, что верно как высказывание $A$, так и $\overline A$. Вот я что имел ввиду.

[AD]

Ну тогда свойство X уж точно противоречиво, а свойство Y - как повезет (а вдруг кто-то третий потом усилит результат второго и докажет, что множество объектов, обладающих свойством Y, тоже пусто ...)

[Spook]

AD я надеюсь, что понял Вас правильно
Вывод: объектами пустого множества мы можем манипулировать как хотим в ходе доказательств, независимо от того, что было в предыдущей манипуляции.
Ну что же, это может оказаться полезным

[AD]

Ну да, так и есть. Полезным окажется вряд ли, хотя и может.

Помните теорему о коровах? Первый шаг как раз примерно из этой области.

[Spook]

Прочитал всё, такой ржач Кстати касательно коров

Влад писал(а):

Лемма: Все коровы одного цвета.
Доказательство (по индукции):
При n=1: В множестве состоящем из одной коровы утверждение, очевидно, выполнено.
При n=k: Пусть имеется множество, состоящее из k+1 коров. Если убрать из него одну корову, то их останется k. По предположению индукции все они одного цвета. Теперь вернем на место убранную корову и заберем какую-либо другую. По предположению и эти k оставшихся коров одного цвета. Но тогда и все k+1 коров будут одного цвета.
Согласно принципу математической индукции, все коровы одного цвета.

"По предположению и эти k оставшихся коров одного цвета." --- здесь и ошибка, это же уже не те $k$

[AD]

Spook писал(а):

"По предположению и эти k оставшихся коров одного цвета." --- здесь и ошибка, это же уже не те $k$

Ну и что? При $n=k-1$ мы доказываем равенство цветов в любой системе из $k$ коров.

[Spook]

AD писал(а):

Ну и что? При $n=k-1$ мы доказываем равенство цветов в любой системе из $k$ коров.

Это где мы такое доказали?

Добавлено спустя 3 минуты 45 секунд:

И кстати как это решаем какой цвет будет у коровы на $k+1$ шаге, когда самой коровы еще нет?

[AD]

Ну как. Ну при $k=1$ это верно - любая одна корова одного цвета. А дальше так и начинаем: Пусть имеется (любое!) множество, состоящее из k+1 коров.

[Spook]

AD писал(а):

Пусть имеется (любое!) множество, состоящее из k+1 коров.

А какого они цвета?