пустое множество

[Spook]

Someone уже исправил

Someone писал(а):

... предел вида $\lim\limits_{x\to a}u(x)^{v(x)}$, если $\lim\limits_{x\to a}u(x)=0$ и $\lim\limits_{x\to a}v(x)=0$, может иметь любое конечное или бесконечное значение или вообще не существовать.

Это потому что к нулю можно по-разному стремиться: как слева, так и справа? Вот как я думаю, почему $\lim\limits_{x\to 0}x^x$ не существует. Так как $\lim\limits_{x\to{0}}0^x=0$, а $\lim\limits_{x\to{0}}x^0=1$.

[Someone]

Someone писал(а):

Что касается конкретного предела $\lim\limits_{x\to{0}}x^x$, то он благополучно равен $1$.

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:

Spook писал(а):

Это потому что к нулю можно по-разному стремиться: как слева, так и справа?

Более существенно то, что с разной "скоростью".

[Spook]

Тогда понятно.

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

Вернее не понятно. Чему же тогда считать равным $0^0$ в этой теории?

[Someone]

В какой теории? Если в теории пределов, то ничему.

[Spook]

Как я понял, это потому, что не существует именно

Someone писал(а):

... предел вида $\lim\limits_{x\to a}u(x)^{v(x)}$

В таком случае не существуют $\lim\limits_{x\to{0}}0^x$ и $\lim\limits_{x\to{0}}x^0$

[Someone]

Существует или не существует данный предел (и чему равен, если существует), зависит от конкретных функций $u(x)$ и $v(x)$. Вы вообще помните, что я об этом пределе писáл?

$\lim\limits_{x\to 0}0^x$ не существует потому, что при $x<0$ выражение $0^x$ не определено, но естественно считать, что $0^x=0$ при $x>0$, и тогда $\lim\limits_{x\to 0^+}0^x=0$ (предел справа). $\lim\limits_{x\to 0}x^0=1$.

[Spook]

Someone да, помню. Поэтому и уточняю.

Someone писал(а):

$\lim\limits_{x\to 0}x^0=1$.

То есть он всегда определен. В то время $0^0$
определен не всегда, так как $u(x)$ и $v(x)$ могут по-разному стремится к нулю. Я правильно понял?
Получается, что $\lim\limits_{x\to 0}x^0=1$ при любом стремлении, не зависимо от того, как получен показатель степени? Это так?

Добавлено спустя 22 минуты 31 секунду:

Я возможно запутался, но на мой взгляд здесь противоречие.

[ewert]

Spook писал(а):

В то время $0^0$
определен не всегда, так как $u(x)$ и $v(x)$ могут по-разному стремится к нулю. Я правильно понял?

Правильно. Только ещё правильнее сказать, что $0^0$ не определён никогда -- до тех пор, пока не сказано, какими $u(x)$ и $v(x)$ он порождается.

Цитата:

Получается, что $\lim\limits_{x\to 0}x^0=1$ при любом стремлении, не зависимо от того, как получен показатель степени? Это так?

Это даже не то чтобы не так -- это бессмысленная формулировка. Вы, если я правильно понял, пытаетесь сказать, что $\lim\limits_{x\to 0}u(x)^{v(x)}=\lim\limits_{x\to 0}u(x)^{\lim\limits_{y\to 0}v(y)}$. С какой стати?

[Someone]

Символ $0^0$, если мы говорим о теории пределов, не определён "никогда". $\lim\limits_{x\to 0^+}x^x$ - это не $0^0$. Это называется "неопределённость вида $0^0$". В том смысле, что, если бы мы заменили основание и показатель степени их предельными значениями, то получили бы выражение $0^0$, которое в даном контексте не определено. Но вычисление пределов сводится к подстановке в функцию предельного значения аргумента только для функций, непрерывных в предельной точке. В других же случаях его (предела) значение находится другими способами.

Spook писал(а):

не зависимо от того, как получен показатель степени? Это так?

Не так. В этом пределе показатель степени просто равен нулю, и никаким "способом" он не "получен".

Spook писал(а):

при любом стремлении

Что значит "при любом стремлении" - тоже непонятно. В пределах ничто ни к чему не "стремится", это просто такое образное выражение, не более того. Математического смысла оно не имеет. Есть определение предела, в нём всё сказано.

[AD]

Товарищи, а вам не кажется, что про $0^0$ мы уже наговорились вдоволь?
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=10670

По-моему, там был в конце получен точный и методически правильный ответ на этот вопрос.

[Spook]

ewert писал(а):

Вы, если я правильно понял, пытаетесь сказать, что $\lim\limits_{x\to 0}u(x)^{v(x)}=\lim\limits_{x\to 0}u(x)^{\lim\limits_{y\to 0}v(y)}$. С какой стати?

Нет, я не это хотел сазать, более того это не верно в общем случае. Думаю, теперь я понял.

Someone писал(а):

... показатель степени просто равен нулю, и никаким "способом" он не "получен".

AD писал(а):

Товарищи, а вам не кажется, что про $0^0$ мы уже наговорились вдоволь?
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=10670

По-моему, там был в конце получен точный и методически правильный ответ на этот вопрос.

Жесть. Прочитал всё. Жесть. Прошелся по всем ссылкам и обдумал все написанное. Вот к какому выводу я пришел:
1.В теоретико-множественном смысле $0^0=1$.
2.Без контекста $0^0$ - это просто символ.
3.В теории пределов стоит различать "просто" ноль: независимо от скорости "стремления" $\lim\limits_{x\to{0+}}0^x=0$, а $\lim\limits_{x\to{0}}x^0=1$, от нуля полученного в результате подстановки вместо функции, тогда нужно говорить, что имеет место неопределенность вида $0^0$, в результате может получиться, что предел либо равен $\infty$, либо любому числу, либо не существует.

Поправте меня пожалуйста, если я что-то написал неправильно или упустил, мне очень важно в этом наконец-то разобраться.

[ИСН]

Короче. $\lim\limits_{x\to a}u(x)^{v(x)}$ (когда обе функции стремятся к 0) может быть 0, 1, или любым другим числом - смотря что за функции.
Всё остальное, что Вы говорите, либо эквивалентно этому, либо неверно.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Вообще говоря, тот факт, что $\left|\varnothing^{\varnothing}\right|=1$, никакого отношения к теории пределов не имеет...

Тут даже ещё интереснее!

$0 = \varnothing$ по определению.

$1 = \{ \varnothing \}$ опять же по определению.

$0^0 = 1$. Эти множества просто равны (в самом сильном смысле), а не всего лишь равны по мощности.

[Spook]

Профессор Снэйп, на всякий случай, а чему равны в самом сильном смысле и по мощности соответственно $0^1$ и $1^0$?

[ewert]

Spook писал(а):

Профессор Снэйп, на всякий случай, а чему равны в самом сильном смысле и по мощности соответственно $0^1$ и $1^0$?

да ничему оне ни равны, а тем паче в смысле мощности (коя тут уж и совсем уж не при чём). Просто надо в каждой конкретной задаче -- конкретно и анализировать...