Олимпиада НГУ - 2017

[bot]

8 октября (1 тур)

1 курс

1. Пусть неотрицательные числа $a_0,a_1,\ldots,a_n$ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что

$$\frac1{\sqrt{a_0}+\sqrt{a_1}}+\frac1{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\ldots+\frac1{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac n{\sqrt{a_0}+\sqrt{a_n}}\,.$$

2. Десятизначное число назовём правильным, если его стандартная десятичная запись содержит все цифры и при чтении его слева направо, чётные числа идут по возрастанию, а нечётные по убыванию. Сколько существует нечётных правильных чисел?

3. Пусть $BK$ --- биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$ с прямым углом $C.$ Окружность, описанная около треугольника $AKB$
пересекает вторично сторону $BC$ в точке $L.$ Докажите, что $AB=CB+CL.$


4. Пусть функция $f:\mathbb R\to \mathbb R $ удовлетворяет тождеству $x+f(x)=f(f(x)).$ Найдите все решения уравнения $f(f(x))=0.$


5. Пафнутий написал на 1000 карточек по одному числу от 1 до 1000 (каждое число было написано ровно один раз). Арсений разложил карточки Пафнутия по некоторым ячейкам доски $1 \times 2017$, не более чем по одной карточке в каждую клетку. Если соседняя клетка справа от карточки с числом $n$ ($n < 1000$) пуста, то за один ход Пафнутию разрешается переложить в эту пустую ячейку карточку с числом $n+1$. Через несколько ходов у Пафнутия не осталось возможности сделать ход. Какое наибольшее количество ходов могло быть сделано к этому моменту?

2-4 курсы

1. Пусть для дважды дифференцируемой на отрезке $[a,b]$ функции $f$ выполнены условия $|f'(a)|=|f(b)|, \, |f'(b)|=|f(a)|$ и $f'(x)\ne 0$ при $x\in (a,b)$.
Докажите, что уравнение \\ $f(x)+f''(x) =0$ имеет корень в $(a,b).$


2. Могут ли сходиться оба интеграла $\int\limits_0^{+\infty} f(x)\, dx $ и $\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{f(x)}$
для некоторой непрерывной функции $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)?$

3. Пусть $a_n>0$ убывающая последовательность. Докажите, что ряд $\ds\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\ds\sum\limits_{n=1}^\infty a_{2^n}$.

4. Пусть $a_0>0,\,\, a_{n+1}=\sqrt{a_n}+\frac1{n+2}.$ Докажите сходимость этой последовательности и найдите её предел.

5. Найдите все действительные числа $\lambda$, для которых существует ненулевой многочлен $p(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющий тождеству

$$(1-x)p(x+1)+(1+x)p(x-1)+\lambda p(x)=0.$$

Второй тур с участием команд Новосибирска и других городов состоится 22 октября.

[kotenok gav]

bot в сообщении #1254054 писал(а):

4. Пусть функция $f:\mathbb R\to \mathbb R $ удовлетворяет тождеству $x+f(x)=f(f(x)).$ Найдите все решения уравнения $f(f(x))=0.$

Так чтобы еще $x+f(x)=f(f(x))$? Тогда нету.

[mihiv]

Если $f(0)=0$, то возможно решение $x=0.$

[DeBill]

kotenok gav в сообщении #1254058 писал(а):

Тогда нету.

Да почему? Напр., $f(x)=qx$, для подходящего КУ..
И ваще: $f(f(x))=0$, $x+f(x)=0$, $f(x)=-x$, $f(-x)=f(f(x))=0$,
$f(0)=f(f(-x))=-x+f(-x)=-x$, $f(f(0))=f(-x)=0=0+f(0)$, $f(0)=0 =-x$, $x=0$

[Human]

bot в сообщении #1254054 писал(а):

2-4 курсы

1. Пусть для дважды дифференцируемой на отрезке $[a,b]$ функции $f$ выполнены условия $|f'(a)|=|f(b)|, \, |f'(b)|=|f(a)|$ и $f'(x)\ne 0$ при $x\in (a,b)$.
Докажите, что уравнение \\ $f(x)+f''(x) =0$ имеет корень в $(a,b).$

Применить теорему Ролля к функции $g(x)=(f(x))^2+(f'(x))^2$ на отрезке $[a;b]$.

bot в сообщении #1254054 писал(а):

2. Могут ли сходиться оба интеграла $\int\limits_0^{+\infty} f(x)\, dx $ и $\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{f(x)}$
для некоторой непрерывной функции $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)?$

Согласно интегральному неравенству Коши-Буняковского:
$\int\limits_0^{+\infty}f(x)\,dx\cdot\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{f(x)}\geqslant\left(\int\limits_0^{+\infty}1\,dx\right)^2=+\infty$
так что хотя бы один из интегралов расходится.

bot в сообщении #1254054 писал(а):

3. Пусть $a_n>0$ убывающая последовательность. Докажите, что ряд $\ds\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\ds\sum\limits_{n=1}^\infty a_{2^n}$.

Это телескопический признак сходимости.

[DeBill]

1. Ну, на разности домножить...
2. Первое - 9, так что $C^4_9$...
3. Отложим $CL'=CL$ на продолжении $BC$, и, из равенства вписанных, будет нам равнобедренность...
5. А такой пасьянс я в детстве раскладывал!
Ну, 1 нельзя передвинуть. 2 -токо один раз, 3 - не боле двух, и т.д....
А пример - все слева направо по порядку, с интервалом в адын клеточка.

-- 09.10.2017, 16:12 --

2.4. Все не могут быть меньше 1: корень из малого числа больше числа, а гармонический ряд расходится.
Но если член стал большим, то все последующие также будут больше 1.
Оценим $a_n$ сверху числом $b_n =1+\frac{C+1}{n+1}$ по индукции.
База при $n=2$ - за счет выбора $C\geqslant 2$
Шаг: $a_{n+1}=\sqrt{a_n}+\frac{1}{n+2} \leqslant \sqrt{1+ \frac{C+1}{n+1}}+\frac{1}{n+2} \leqslant 1+\frac{C+1}{n+2} $, Достаточно $1+ \frac{C+1}{n+1} \leqslant 1+ \frac{2C}{n+2}$, что верно при $n\geqslant 2, C \geqslant 2$. Так как $b_n$ сходится к 1, то по лемме о двух полиционерах, $a_n$ идет туда же...
2.2. Или: $f+\frac{1}{f}\geqslant 2 $.

[kotenok gav]

mihiv в сообщении #1254213 писал(а):

Если $f(0)=0$, то возможно решение $x=0.$

А, то есть не для всех х? Тогда решения есть.

[worm2]

bot в сообщении #1254054 писал(а):

2-4 курсы

5. Найдите все действительные числа $\lambda$, для которых существует ненулевой многочлен $p(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющий тождеству

$$(1-x)p(x+1)+(1+x)p(x-1)+\lambda p(x)=0.$$

Пусть $\lambda\neq 0$. Подставляя вместо $x$ значения 0, 1 и -1, получаем:

$$\left\{ \begin{array}{llllll} &p(-1)+&\lambda p(0)+&p(1)&=&0\\ &&2p(0)+&\lambda p(1)&=&0\\ &\lambda p(-1)+&2p(0)&&=&0 \end{array} \right.$$

Определитель матрицы этой системы $\lambda^3\neq 0$, значит, $p(0)=p(\pm 1)=0$. Подставляя вместо $x$ другие целые числа, получаем, что для целых $x\geqslant 1$ $p(x+1)$ линейно зависит от $p(x)$ и $p(x-1)$, значит, все значения в натуральных числах равны 0, на отрицательные можно уже не смотреть, $p(x)\equiv 0$.Остаётся единственное нерассмотренное значение $\lambda=0$, при котором указанный многочлен существует (например, $p(x)=x$).

-- Пн окт 09, 2017 17:28:59 --

Упс, ошибочка вышла. $p(2)$ не выражается линейно через $p(0)$ и $p(1)$. Доказательства, что $\lambda$ не может быть равно 0, нет.

-- Пн окт 09, 2017 17:45:55 --

Например, тождество выполняется при $\lambda=6$, $p(x)=x^2(x+1)(x-1)$.

[kotenok gav]

В последнем уравнении системы не минус а плюс.

[worm2]

А ведь точно! Определитель превращается в $\lambda(\lambda+2)(\lambda-2)$, и вечер окончательно перестаёт быть томным

[12d3]

Если многочлен $p(x)$ степени $n$, то рассмотрев в левой части тождества коэффициент при $x^n$, получим $\lambda = 2(n-1)$. Осталось доказать, что для всех этих лямбд $p(x)$ существует (это наверняка так, потому что для первых 6 степеней существует и однозначен с точностью до числового множителя)

[DeBill]

Линейный оператор из левой части (без лямбдов), переводит моном в... (см. 12d3). Поэтому, в стандартном базисе, его матрица - верхнетреугольная, с диагональными элементами $2-2n$, указанными там же. Поэтому ейный спектр в точности и состоит из этих диагональных (а лямбды - им противоположны).

[bot]

35 Сибирская математическая олимпиада
22 октября 2017 г.

1 курс

1. Сумма любых 1008 из данных 2017 действительных чисел не превосходит суммы остальных 1009 чисел.
Докажите, что все эти 2017 чисел неотрицательны.


2. Пусть $x\in \mathbb R.$ Докажите, что $x+\sqrt{3}$ и $x^3+5\sqrt{3}$ не могут быть одновременно рациональны.

3. Пусть $a, b, c >0.$ Докажите, что

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$$

4. Внутри параллелограмма $ABCD$ взяли точку $E$ так, что $|CE|=|CB|.$ Пусть $F$ и $G$ середины $CD$ и $AE$ соответственно. Докажите, что прямая $FG$ перпендикулярна $BE$.


5. Какое наименьшее значение может принять сумма $|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+...+|x_{100}-x_{99}|+|x_1-x_{100}|$,
если $\{x_1,x_2,...x_{100}\}=\{1,2,...100\}?$
------------


Вузы с профилирующей математикой, 2-4 курсы

1. Определитель ортогональной матрицы $Q$ равен -1.
Докажите, что среди её собственных чисел есть -1.


2. В клетках таблицы $10\times 10$ одной из диагоналей стоят минусы, а в остальных клетках таблицы --- плюсы.
Разрешается сменить знаки на противоположные во всех клетках любой строки или столбца.
Можно ли после нескольких таких преобразований получить таблицу, в которой на одной из диагоналей и выше её стоят плюсы, а ниже --- минусы?


3. Пусть $a,b,c$ натуральны, $a-c,b-c$ взаимно просты и $\frac1a+\frac1b=\frac1c.$
Докажите, что числа $a+b, a-c, b-c$ являются квадратами натуральных чисел.


4. Пусть $0 < a, b, c<1$ и $ab + bc + ca = 1$.
Найдите наименьшее значение выражения

$$\frac{a}{1-a^2} + \frac{b}{1-b^2} + \frac{c}{1-c^2}.$$

5. Пусть $F(x)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{\alpha-1}dt}{(1+t^\beta)^x}\,\,(\beta>\alpha>0).$ Найдите $\lim\limits_{x\to +\infty}F(x).$

--------------

Вузы с непрофилирующей математикой, 2-4 курсы

1. Найдите все $n$, для которых возможно найти $n$ простых чисел, таких что сумма любых трёх из них тоже простое число.

2. Найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt n}\left(\dfrac1{\sqrt1+\sqrt3}+\dfrac1{\sqrt3+\sqrt5}+\ldots+ \dfrac1{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}\right).$

3. Квадратная матрица порядка $n$ составлена из нечётных чисел. Докажите, что её определитель делится на $2^{n-1}.$

4. Самолет облетает земной шар по экватору за 24 часа. Города A и B расположены на одной параллели в 3-х часах лёта до северного полюса и различаются астрономическим местным временем на 6 часов.
Найlдите кратчайшее время для перелёта из A в B.
Скорость самолета считается постоянной, а земной шар идеальным.


5. Окружности радиуса 1/2 с центрами $(\pm\frac12; 0)$ разбивают круг
$x^2 + y^2\leqslant 1$ на 4 части: два малых круга и два двойных серпа.
Найдите центр тяжести фигуры «инь», получающейся объединением правого малого круга и верхнего серпа.

[Sergic Primazon]

Цитата:

3. Пусть $a, b, c >0.$ Докажите, что

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$$

Пусть $a+b+c =1\ ,\ f(x)= \sqrt{\dfrac{x}{1-x}} \ge 2x$

$$\Leftrightarrow f(a)+f(b)+f(c) \ge 2a+2b+2c =2$$

Цитата:

4. Пусть $0 < a, b, c<1$ и $ab + bc + ca = 1$.
Найдите наименьшее значение выражения

$$\frac{a}{1-a^2} + \frac{b}{1-b^2} + \frac{c}{1-c^2}.$$

$a=\tg\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)\ ,\ b=\tg\left( \dfrac{\beta}{2}\right) \ ,\ c=\tg\left( \dfrac{\gamma}{2}\right) \ , \ \alpha + \beta + \gamma = \pi $

$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left ( \tg(\alpha)+\tg(\beta)+\tg(\gamma)\right)\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

[lel0lel]

bot в сообщении #1258023 писал(а):

2. Найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt n}\left(\dfrac1{\sqrt1+\sqrt3}+\dfrac1{\sqrt3+\sqrt5}+\ldots+ \dfrac1{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}\right).$

Можно в уме решить - избавляемся от иррациональностей в знаменателях - везде появятся двойки. В числителе почти всё сокращается, кроме первого и последнего корня. Предел равен $1/\sqrt{2}$.