2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение23.10.2017, 08:58 


26/08/11
1714
bot в сообщении #1258023 писал(а):
3. Пусть $a,b,c$ натуральны, $a-c,b-c$ взаимно просты и $\frac1a+\frac1b=\frac1c.$
Докажите, что числа $a+b, a-c, b-c$ являются квадратами натуральных чисел.
$c=\dfrac{ab}{a+b}$

Если $\gcd(a,b)=1$, то решений нет. Пусть $a=ku,b=kv,\gcd(u,v)=1$

$c=\dfrac{kuv}{u+v}\Rightarrow (u+v)\mid k$

$
\\k=(u+v)t\\
a=u(u+v)t\\
b=v(u+v)t\\
c=uvt
$

$\gcd(a-c,b-c)=1\Rightarrow t=1$

$\\a-c=u^2\\
b-c=v^2\\
a+b=(u+v)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение23.10.2017, 12:21 
Заслуженный участник


03/01/09
1230
москва
5. Пусть $F(x)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{\alpha-1}dt}{(1+t^\beta)^x}\,\,(\beta>\alpha>0).$ Найдите $\lim\limits_{x\to +\infty}F(x).$

$F(x)=\int \limits _0^1+\int \limits _1^{\infty },\,\,\int \limits _1^{\infty }<\int \limits _1^{\infty }\dfrac {t^{\beta -1}dt}{(1+t^{\beta })^x}=\dfrac 1{\beta (x-1)2^{x-1}}\to 0$$$\int _0^1=\int _0^{\delta (x)}+\int \limits _{\delta (x)}^1, \text {возьмем}\,\,\delta (x)=x^{-\frac 1{2\beta }},\text {тогда}
\int _0^{\delta (x)}<\delta (x)\to 0,

\int _{\delta (x)}^1<\dfrac 1{(1+\delta (x)^{\beta })^x}=\dfrac 1{\left ((1+\frac 1{\sqrt {x}})^{\sqrt {x}}\right )^{\sqrt {x}}}<2^{-\sqrt {x}}\to 0$$Таким образом $F(x)\to 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение15.11.2017, 17:37 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
bot в сообщении #1258023 писал(а):
5. Пусть $F(x)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{\alpha-1}dt}{(1+t^\beta)^x}\,\,(\beta>\alpha>0).$ Найдите $\lim\limits_{x\to +\infty}F(x).$

А зачем бета больше альфы? Он же в любом случае монотонно убывает, и есть суммируемая мажоранта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение15.11.2017, 17:40 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
У вас цитирование нарушилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение15.11.2017, 18:08 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
Да, не на ту "вставку" нажал. Исправил.

-- Ср ноя 15, 2017 19:21:57 --

bot в сообщении #1258023 писал(а):
1. Определитель ортогональной матрицы $Q$ равен -1.
Докажите, что среди её собственных чисел есть -1.

У неё комплексные собственные числа если есть, то попарно сопряжены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение16.11.2017, 00:21 
Заслуженный участник


10/01/16
1689
bot в сообщении #1258023 писал(а):
2. В клетках таблицы $10\times 10$ одной из диагоналей стоят минусы, а в остальных клетках таблицы --- плюсы.
Разрешается сменить знаки на противоположные во всех клетках любой строки или столбца.
Можно ли после нескольких таких преобразований получить таблицу, в которой на одной из диагоналей и выше её стоят плюсы, а ниже --- минусы?

Сохраняется четность кол-ва минусов, однако. Но в начале их 10, а в конце - 45. Нельзя, значить....

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение19.11.2017, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5558
Новосибирск
DeBill в сообщении #1265653 писал(а):
Сохраняется четность кол-ва минусов, однако.

Однако да, а я к $\pm$ единички прислонил и определители считал, поэтому 1 курсу не дал. В проверке не участвовал, поэтому не знаю были ли такие решения. Надо было нечётного порядка >3 матрицу давать. А с тройкой что-то сходу не получилось и инварианта не подберу.

Не сразу заметил, что есть ещё два упоминания.
ewert в сообщении #1265530 писал(а):
А зачем бета больше альфы?

А и в самом деле зачем - всё одно функция определена.
ewert в сообщении #1265543 писал(а):
У неё комплексные собственные числа если есть, то попарно сопряжены.

Ну да, так ещё проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение19.11.2017, 21:15 
Заслуженный участник


10/01/16
1689
bot в сообщении #1266680 писал(а):
Однако да

Можно даже проще: четность сохраняется и в любом "подквадратике" (пересечении пары строк и пары столбцов) два на два. Это проходит тогда и для 3 на 3...

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение19.11.2017, 21:52 
Аватара пользователя


01/12/11
6808
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
bot в сообщении #1258023 писал(а):
35 Сибирская математическая олимпиада
22 октября 2017 г.

Вузы с непрофилирующей математикой, 2-4 курсы

1. Найдите все $n$, для которых возможно найти $n$ простых чисел, таких что сумма любых трёх из них тоже простое число.


Ответ: 3; 4.

Пример для трёх чисел: 2, 2, 3.
Для четырёх: 3, 3, 5, 5.

При наличии 5 и более чисел найдутся либо три числа, дающие одинаковые останки при делении на 3, либо 3 числа, дающие попарно различные остатки при делении на 3. Сумма трёх таких чисел будет кратна трём, а также будет не меньше 6 (ибо сумма трёх простых), из чего следует её составнота (ситуативный антоним слова простата).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение20.11.2017, 01:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5558
Новосибирск
Ktina в сообщении #1267043 писал(а):
Пример для трёх чисел: 2, 2, 3

Вижу 2 числа, двойка произносится с заиканием.
DeBill в сообщении #1267028 писал(а):
Можно даже проще

:oops: :lol: Берём подквадрадик $2\times 2$ и плюём на всё остальное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение20.11.2017, 11:48 
Аватара пользователя


01/12/11
6808
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
bot в сообщении #1267127 писал(а):
Ktina в сообщении #1267043 писал(а):
Пример для трёх чисел: 2, 2, 3

Вижу 2 числа, двойка произносится с заиканием.

Можно и попарно различные.
Для трёх:
5, 7, 11
Для четырёх:
7, 11, 13, 23
(суммы по три числа будут равны 31, 41, 43 и 47)

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение23.11.2017, 16:06 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
bot в сообщении #1254054 писал(а):
4. Пусть $a_0>0,\,\, a_{n+1}=\sqrt{a_n}+\frac1{n+2}.$ Докажите сходимость этой последовательности и найдите её предел.

До тех пор, пока $a_n<1$, последовательность монотонно возрастает. Поэтому предел (если он есть) может быть только положительным и, следовательно, только единицей. Это было необязательное вступление (подводка); теперь -- собственно формальное решение.

Обозначим $\frac1{n+2}=\delta_n$; сделаем замены $a_n=1+\varepsilon_n$ и затем $b_n=2^n\varepsilon_n$. Тогда из $1+\varepsilon_{n+1}=\sqrt{1+\varepsilon_n}+\delta_n$ следует $\varepsilon_{n+1}\leqslant\frac{\varepsilon_n}2+\delta_n$, т.е. $b_{n+1}\leqslant b_n+2^{n+1}\delta_n$. Из стремления $\delta_n$ к нулю, в свою очередь, следует, что $b_n$ много меньше, чем $2^n$, поскольку в сумме $\sum\limits_{k=1}^n 2^{k+1}\delta_k\geqslant b_{n+1}-b_0$ первая половина слагаемых оценивается сверху через $2^{\frac{n}2}$, вторая же не превосходит $2^{n+2}\max\limits_{k\geqslant n/2}\delta_k$. Следовательно, $\varepsilon_n=2^{-n-1}b_n\to0$.

-- Чт ноя 23, 2017 17:30:47 --

bot в сообщении #1258023 писал(а):
4. Пусть $0 < a, b, c<1$ и $ab + bc + ca = 1$.
Найдите наименьшее значение выражения $$\frac{a}{1-a^2} + \frac{b}{1-b^2} + \frac{c}{1-c^2}.$$

В лоб. Фиксируем любое $c$ и обозначаем минимизируемое выражение как $f(a,b(a))$, где $b(a)$ определяется из уравнения $(b+c)(a+c)=1+c^2$. Тогда $b'(a)<0$ и, следовательно, производная $f'=\frac{1+a^2}{1-a^2}+\frac{1+b^2}{1-b^2}\cdot b'(a)$ отрицательна при $a<b$ и положительна при $a>b$. Т.е. для любого фиксированного $c$ минимум достигается при $a=b$; далее -- теорема Вейерштрасса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение23.11.2017, 18:44 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
bot в сообщении #1258023 писал(а):
1. Сумма любых 1008 из данных 2017 действительных чисел не превосходит суммы остальных 1009 чисел.
Докажите, что все эти 2017 чисел неотрицательны.

Пусть $x$ -- какое-нибудь из чисел, $S_1$ -- сумма какой-либо половины оставшихся (неважно какой) и $S_2$ -- сумма другой половины. Тогда по условию $x+S_1\geqslant S_2$ и в то же время $x+S_2\geqslant S_1$.

bot в сообщении #1258023 писал(а):
2. Пусть $x\in \mathbb R.$ Докажите, что $x+\sqrt{3}$ и $x^3+5\sqrt{3}$ не могут быть одновременно рациональны.

Надо просто представить $x=q-\sqrt3,\ \ q\in\mathbb Q$ и тупо возвести его в куб. Тогда всё сведётся к невозможности равенства $3q^2=2$ (надеюсь, его не требовалось доказывать?)

bot в сообщении #1258023 писал(а):
4. Внутри параллелограмма $ABCD$ взяли точку $E$ так, что $|CE|=|CB|.$ Пусть $F$ и $G$ середины $CD$ и $AE$ соответственно. Докажите, что прямая $FG$ перпендикулярна $BE$.

Без векторов тут, наверное, не очень хорошо, а с векторами -- более-менее автоматически. Если $\overrightarrow{AB}=\vec a$, $\overrightarrow{AD}=\vec b$ и $\overrightarrow{BE}=\vec c$, то и $\overrightarrow{FG}=\frac{\vec a+\vec c}2-\left(\vec b+\frac{\vec a}2\right)=\frac{\vec c}2-\vec b$. Но это -- в точности высота в равнобедренном треугольнике $BEC$ с основанием $BE$.

bot в сообщении #1258023 писал(а):
5. Какое наименьшее значение может принять сумма $|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+...+|x_{100}-x_{99}|+|x_1-x_{100}|$,
если $\{x_1,x_2,...x_{100}\}=\{1,2,...100\}?$

Можно считать, что $x_1=1$. Добавим в конец этой последовательности ещё одну единичку. Тогда на участке от начальной единички до сотни последовательность должна монотонно возрастать, на участке от сотни до завершающей единички -- убывать. Поскольку если хоть на одном из этих участков монотонность нарушится, то сумма модулей разностей по этому участку окажется больше девяноста девяти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение24.11.2017, 16:06 
Заслуженный участник


03/01/09
1230
москва
bot в сообщении #1258023 писал(а):
4. Самолет облетает земной шар по экватору за 24 часа. Города A и B расположены на одной параллели в 3-х часах лёта до северного полюса и различаются астрономическим местным временем на 6 часов.
Найдите кратчайшее время для перелёта из A в B.

Координаты $A$ и $B: 45^°$ с.ш. По долготе $A$ и $B$ смещены на 90°. Отсюда находим, что длина дуги большого круга $AB$ равна $\frac 16 $ длины экватора, и, следовательно, время полета - 4 часа.

-- Пт ноя 24, 2017 17:31:06 --

bot в сообщении #1258023 писал(а):
3. Квадратная матрица порядка $n$ составлена из нечётных чисел. Докажите, что её определитель делится на $2^{n-1}.$

По индукции. Для $n=2$ утверждение справедливо. Пусть оно уже доказано для матриц порядка $n-1$. Докажем, что оно справедливо и для порядка $n$.Для этого к первой строке матрицы порядка $n$ прибавим вторую строку (это не изменит ее определитель). В первой строке новой матрицы четные числа. Раскроем определитель новой матрицы по первой строке. Очевидно определитель новой матрицы делится на $2^{n-1}$, т.к. он равен сумме произведений четных чисел на определители порядка $n-1$ с нечетными элементами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение24.11.2017, 18:34 
Заслуженный участник


11/05/08
31483
А почему про пятую задачку -- про "инь с серпами" -- никто ничего не выкладывает? потому, что она малоолимпиадна?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group