2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение24.11.2017, 20:47 
Заслуженный участник


10/01/16
1436
Находим центр масс верхнего полукруга (интегрированием, увы): он посередине, на расстоянии $\frac{4}{3\pi}$ от диаметра. Из подобия, находим координаты центра масс левого верхнего полукружка, и правого нижнего; массы их, соответственно, в 4 раза меньше массы полукруга. Считаем , что левый - из антиматерии (т.е., отрицательной массы), так что сумма трех полукругов и ест Янь; находим центр масс: он на высоте $\frac{1}{\pi}$$x$ - координата и без того легко: масса серпа равна массе кружочка - проекция посредине меж центрами, значить).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение24.11.2017, 21:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1789
shevah school, tel-aviv
bot в сообщении #1258023 писал(а):

3. Пусть $a, b, c >0.$ Докажите, что $$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$$



AM-GM помогает:
$$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum_{cyc}\frac{2a}{2\sqrt{a(b+c)}}\geq\sum_{cyc}\frac{2a}{a+b+c}=2.$$

Ещё Гёлдер и Шур:
$$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{\frac{\left(\sum\limits_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}\right)^2\sum\limits_{cyc}a^2(b+c)}{\sum_{cyc}a^2(b+c)}}\geq\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{\sum\limits_{cyc}a^2(b+c)}}=$$
$$=\sqrt{\frac{\sum\limits_{cyc}(a^3-a^2b-a^2c+abc)+3abc+4\sum\limits_{cyc}a^2(b+c)}{\sum\limits_{cyc}a^2(b+c)}}>2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение25.11.2017, 01:31 
Заслуженный участник


10/01/16
1436
Про ИньЯнь - можно без интегрирования.
Ясно, что достаточно найти центр масс серпа ( тогда центр Иня - посредине между центром серпа и кружочка, ибо равновелики они). Но он - на его оси симметрии, на расстоянии от горизонтали ($=$ оси вращения), которое равно объему тела вращения, деленному на площадь области, и на $2\pi$ (Теорема Штейнера?) . Т.к. объем равен объему шара минус два шарика (то бишь, $\frac{3}{4}$ от $\frac{4}{3}\pi$), а площадь равна $\frac{\pi}{4}$, то, поделив на $2\pi$, получим расстояние от оси до центра серпа, равное $\frac{2}{\pi}$.

(Оффтоп)

Вот токо теорема выводится интегрированием: при вращении элемента площади $dS$, отстоящего от оси на расстояние $r$, заметается объем $dV = 2\pi r dS$. Поэтому объем тела вращения равен $2\pi$, умноженному на момент фигуры относительно оси. Но он - момент - равен площади фигуры, умноженному на расстояние от центра масс до оси. ЧТД

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение26.11.2017, 14:18 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
DeBill в сообщении #1268746 писал(а):
Из подобия, находим координаты центра масс левого верхнего полукружка, и правого нижнего;

Это-то зачем? Надо просто усреднить вертикальную координату для серпа и для правого круга. Т.е. просто поделить пополам координату $y$ для серпа.

Последняя, в свою очередь, тоже находится безо всяких аннигиляций. Среднее между ней (равной, разумеется, координате для правого полусерпа) и координатой центра масс для верхнего правого полукруга -- это координата для верхней правой четверти большого круга: $\frac4{3\pi}=\frac12\left(y+\frac2{3\pi}\right)$.

Совсем без интегрирования -- да, никак (Штейнер или как его там попахивает мазохизмом). Но это интегрирование, если в полярных координатах, то проскакивает мгновенно. Да и в декартовых, в общем, тоже. Кроме того, это стандартная учебная задача (про полукруг или, что то же, про четверть круга).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group