2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение08.10.2017, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5558
Новосибирск
8 октября (1 тур)

1 курс

1. Пусть неотрицательные числа $a_0,a_1,\ldots,a_n$ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что $$\frac1{\sqrt{a_0}+\sqrt{a_1}}+\frac1{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\ldots+\frac1{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac n{\sqrt{a_0}+\sqrt{a_n}}\,.$$

2. Десятизначное число назовём правильным, если его стандартная десятичная запись содержит все цифры и при чтении его слева направо, чётные числа идут по возрастанию, а нечётные по убыванию. Сколько существует нечётных правильных чисел?

3. Пусть $BK$ --- биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$ с прямым углом $C.$ Окружность, описанная около треугольника $AKB$
пересекает вторично сторону $BC$ в точке $L.$ Докажите, что $AB=CB+CL.$


4. Пусть функция $f:\mathbb R\to \mathbb R $ удовлетворяет тождеству $x+f(x)=f(f(x)).$ Найдите все решения уравнения $f(f(x))=0.$


5. Пафнутий написал на 1000 карточек по одному числу от 1 до 1000 (каждое число было написано ровно один раз). Арсений разложил карточки Пафнутия по некоторым ячейкам доски $1 \times 2017$, не более чем по одной карточке в каждую клетку. Если соседняя клетка справа от карточки с числом $n$ ($n < 1000$) пуста, то за один ход Пафнутию разрешается переложить в эту пустую ячейку карточку с числом $n+1$. Через несколько ходов у Пафнутия не осталось возможности сделать ход. Какое наибольшее количество ходов могло быть сделано к этому моменту?

2-4 курсы

1. Пусть для дважды дифференцируемой на отрезке $[a,b]$ функции $f$ выполнены условия $|f'(a)|=|f(b)|, \, |f'(b)|=|f(a)|$ и $f'(x)\ne 0$ при $x\in (a,b)$.
Докажите, что уравнение \\ $f(x)+f''(x) =0$ имеет корень в $(a,b).$


2. Могут ли сходиться оба интеграла $\int\limits_0^{+\infty} f(x)\, dx $ и $\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{f(x)}$
для некоторой непрерывной функции $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)?$

3. Пусть $a_n>0$ убывающая последовательность. Докажите, что ряд $\ds\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\ds\sum\limits_{n=1}^\infty a_{2^n}$.

4. Пусть $a_0>0,\,\, a_{n+1}=\sqrt{a_n}+\frac1{n+2}.$ Докажите сходимость этой последовательности и найдите её предел.

5. Найдите все действительные числа $\lambda$, для которых существует ненулевой многочлен $p(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющий тождеству $$(1-x)p(x+1)+(1+x)p(x-1)+\lambda p(x)=0.$$

Второй тур с участием команд Новосибирска и других городов состоится 22 октября.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение08.10.2017, 14:01 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
bot в сообщении #1254054 писал(а):
4. Пусть функция $f:\mathbb R\to \mathbb R $ удовлетворяет тождеству $x+f(x)=f(f(x)).$ Найдите все решения уравнения $f(f(x))=0.$

Так чтобы еще $x+f(x)=f(f(x))$? Тогда нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение09.10.2017, 12:10 
Заслуженный участник


03/01/09
1230
москва
Если $f(0)=0$, то возможно решение $x=0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение09.10.2017, 13:17 
Заслуженный участник


10/01/16
1689
kotenok gav в сообщении #1254058 писал(а):
Тогда нету.

Да почему? Напр., $f(x)=qx$, для подходящего КУ..
И ваще: $f(f(x))=0$, $x+f(x)=0$, $f(x)=-x$, $f(-x)=f(f(x))=0$,
$f(0)=f(f(-x))=-x+f(-x)=-x$, $f(f(0))=f(-x)=0=0+f(0)$, $f(0)=0 =-x$, $x=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение09.10.2017, 13:26 
Аватара пользователя


20/03/12
130
bot в сообщении #1254054 писал(а):
2-4 курсы

1. Пусть для дважды дифференцируемой на отрезке $[a,b]$ функции $f$ выполнены условия $|f'(a)|=|f(b)|, \, |f'(b)|=|f(a)|$ и $f'(x)\ne 0$ при $x\in (a,b)$.
Докажите, что уравнение \\ $f(x)+f''(x) =0$ имеет корень в $(a,b).$

Применить теорему Ролля к функции $g(x)=(f(x))^2+(f'(x))^2$ на отрезке $[a;b]$.
bot в сообщении #1254054 писал(а):
2. Могут ли сходиться оба интеграла $\int\limits_0^{+\infty} f(x)\, dx $ и $\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{f(x)}$
для некоторой непрерывной функции $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)?$

Согласно интегральному неравенству Коши-Буняковского:
$\int\limits_0^{+\infty}f(x)\,dx\cdot\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{f(x)}\geqslant\left(\int\limits_0^{+\infty}1\,dx\right)^2=+\infty$
так что хотя бы один из интегралов расходится.
bot в сообщении #1254054 писал(а):
3. Пусть $a_n>0$ убывающая последовательность. Докажите, что ряд $\ds\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\ds\sum\limits_{n=1}^\infty a_{2^n}$.

Это телескопический признак сходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение09.10.2017, 13:36 
Заслуженный участник


10/01/16
1689
1. Ну, на разности домножить...
2. Первое - 9, так что $C^4_9$...
3. Отложим $CL'=CL$ на продолжении $BC$, и, из равенства вписанных, будет нам равнобедренность...
5. А такой пасьянс я в детстве раскладывал!
Ну, 1 нельзя передвинуть. 2 -токо один раз, 3 - не боле двух, и т.д....
А пример - все слева направо по порядку, с интервалом в адын клеточка.

-- 09.10.2017, 16:12 --

2.4. Все не могут быть меньше 1: корень из малого числа больше числа, а гармонический ряд расходится.
Но если член стал большим, то все последующие также будут больше 1.
Оценим $a_n$ сверху числом $b_n =1+\frac{C+1}{n+1}$ по индукции.
База при $n=2$ - за счет выбора $C\geqslant 2$
Шаг: $a_{n+1}=\sqrt{a_n}+\frac{1}{n+2} \leqslant \sqrt{1+ \frac{C+1}{n+1}}+\frac{1}{n+2} \leqslant 1+\frac{C+1}{n+2} $, Достаточно $1+ \frac{C+1}{n+1} \leqslant 1+ \frac{2C}{n+2}$, что верно при $n\geqslant 2, C \geqslant 2$. Так как $b_n$ сходится к 1, то по лемме о двух полиционерах, $a_n$ идет туда же...
2.2. Или: $f+\frac{1}{f}\geqslant 2 $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение09.10.2017, 14:37 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
mihiv в сообщении #1254213 писал(а):
Если $f(0)=0$, то возможно решение $x=0.$

А, то есть не для всех х? Тогда решения есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение09.10.2017, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2389
Уфа
bot в сообщении #1254054 писал(а):
2-4 курсы

5. Найдите все действительные числа $\lambda$, для которых существует ненулевой многочлен $p(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющий тождеству $$(1-x)p(x+1)+(1+x)p(x-1)+\lambda p(x)=0.$$

Пусть $\lambda\neq 0$. Подставляя вместо $x$ значения 0, 1 и -1, получаем:
$$\left\{
\begin{array}{llllll}
&p(-1)+&\lambda p(0)+&p(1)&=&0\\
&&2p(0)+&\lambda p(1)&=&0\\
&\lambda p(-1)+&2p(0)&&=&0
\end{array}
\right.$$
Определитель матрицы этой системы $\lambda^3\neq 0$, значит, $p(0)=p(\pm 1)=0$. Подставляя вместо $x$ другие целые числа, получаем, что для целых $x\geqslant 1$ $p(x+1)$ линейно зависит от $p(x)$ и $p(x-1)$, значит, все значения в натуральных числах равны 0, на отрицательные можно уже не смотреть, $p(x)\equiv 0$.Остаётся единственное нерассмотренное значение $\lambda=0$, при котором указанный многочлен существует (например, $p(x)=x$).

-- Пн окт 09, 2017 17:28:59 --

Упс, ошибочка вышла. $p(2)$ не выражается линейно через $p(0)$ и $p(1)$. Доказательства, что $\lambda$ не может быть равно 0, нет.

-- Пн окт 09, 2017 17:45:55 --

Например, тождество выполняется при $\lambda=6$, $p(x)=x^2(x+1)(x-1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение09.10.2017, 15:56 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
В последнем уравнении системы не минус а плюс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение09.10.2017, 16:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2389
Уфа
А ведь точно! Определитель превращается в $\lambda(\lambda+2)(\lambda-2)$, и вечер окончательно перестаёт быть томным :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение09.10.2017, 17:23 
Заслуженный участник


04/03/09
830
Если многочлен $p(x)$ степени $n$, то рассмотрев в левой части тождества коэффициент при $x^n$, получим $\lambda = 2(n-1)$. Осталось доказать, что для всех этих лямбд $p(x)$ существует (это наверняка так, потому что для первых 6 степеней существует и однозначен с точностью до числового множителя)

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение09.10.2017, 20:44 
Заслуженный участник


10/01/16
1689
Линейный оператор из левой части (без лямбдов), переводит моном в... (см. 12d3). Поэтому, в стандартном базисе, его матрица - верхнетреугольная, с диагональными элементами $2-2n$, указанными там же. Поэтому ейный спектр в точности и состоит из этих диагональных (а лямбды - им противоположны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение22.10.2017, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5558
Новосибирск
35 Сибирская математическая олимпиада
22 октября 2017 г.

1 курс

1. Сумма любых 1008 из данных 2017 действительных чисел не превосходит суммы остальных 1009 чисел.
Докажите, что все эти 2017 чисел неотрицательны.


2. Пусть $x\in \mathbb R.$ Докажите, что $x+\sqrt{3}$ и $x^3+5\sqrt{3}$ не могут быть одновременно рациональны.

3. Пусть $a, b, c >0.$ Докажите, что $$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$$


4. Внутри параллелограмма $ABCD$ взяли точку $E$ так, что $|CE|=|CB|.$ Пусть $F$ и $G$ середины $CD$ и $AE$ соответственно. Докажите, что прямая $FG$ перпендикулярна $BE$.


5. Какое наименьшее значение может принять сумма $|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+...+|x_{100}-x_{99}|+|x_1-x_{100}|$,
если $\{x_1,x_2,...x_{100}\}=\{1,2,...100\}?$
------------


Вузы с профилирующей математикой, 2-4 курсы

1. Определитель ортогональной матрицы $Q$ равен -1.
Докажите, что среди её собственных чисел есть -1.


2. В клетках таблицы $10\times 10$ одной из диагоналей стоят минусы, а в остальных клетках таблицы --- плюсы.
Разрешается сменить знаки на противоположные во всех клетках любой строки или столбца.
Можно ли после нескольких таких преобразований получить таблицу, в которой на одной из диагоналей и выше её стоят плюсы, а ниже --- минусы?


3. Пусть $a,b,c$ натуральны, $a-c,b-c$ взаимно просты и $\frac1a+\frac1b=\frac1c.$
Докажите, что числа $a+b, a-c, b-c$ являются квадратами натуральных чисел.


4. Пусть $0 < a, b, c<1$ и $ab + bc + ca = 1$.
Найдите наименьшее значение выражения $$\frac{a}{1-a^2} + \frac{b}{1-b^2} + \frac{c}{1-c^2}.$$


5. Пусть $F(x)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{\alpha-1}dt}{(1+t^\beta)^x}\,\,(\beta>\alpha>0).$ Найдите $\lim\limits_{x\to +\infty}F(x).$

--------------

Вузы с непрофилирующей математикой, 2-4 курсы

1. Найдите все $n$, для которых возможно найти $n$ простых чисел, таких что сумма любых трёх из них тоже простое число.

2. Найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt n}\left(\dfrac1{\sqrt1+\sqrt3}+\dfrac1{\sqrt3+\sqrt5}+\ldots+ \dfrac1{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}\right).$

3. Квадратная матрица порядка $n$ составлена из нечётных чисел. Докажите, что её определитель делится на $2^{n-1}.$

4. Самолет облетает земной шар по экватору за 24 часа. Города A и B расположены на одной параллели в 3-х часах лёта до северного полюса и различаются астрономическим местным временем на 6 часов.
Найlдите кратчайшее время для перелёта из A в B.
Скорость самолета считается постоянной, а земной шар идеальным.


5. Окружности радиуса 1/2 с центрами $(\pm\frac12; 0)$ разбивают круг
$x^2 + y^2\leqslant 1$ на 4 части: два малых круга и два двойных серпа.
Найдите центр тяжести фигуры «инь», получающейся объединением правого малого круга и верхнего серпа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение23.10.2017, 00:23 


30/03/08
187
St.Peterburg
Цитата:
3. Пусть $a, b, c >0.$ Докажите, что $$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$$


Пусть $a+b+c =1\ ,\ f(x)= \sqrt{\dfrac{x}{1-x}} \ge 2x$

$$\Leftrightarrow f(a)+f(b)+f(c) \ge 2a+2b+2c =2$$
Цитата:
4. Пусть $0 < a, b, c<1$ и $ab + bc + ca = 1$.
Найдите наименьшее значение выражения $$\frac{a}{1-a^2} + \frac{b}{1-b^2} + \frac{c}{1-c^2}.$$


$a=\tg\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)\ ,\ b=\tg\left( \dfrac{\beta}{2}\right) \ ,\ c=\tg\left( \dfrac{\gamma}{2}\right) \ , \ \alpha + \beta + \gamma = \pi $

$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left ( \tg(\alpha)+\tg(\beta)+\tg(\gamma)\right)\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2017
Сообщение23.10.2017, 01:56 


20/04/10
455
Русь
bot в сообщении #1258023 писал(а):
2. Найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt n}\left(\dfrac1{\sqrt1+\sqrt3}+\dfrac1{\sqrt3+\sqrt5}+\ldots+ \dfrac1{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}\right).$

Можно в уме решить - избавляемся от иррациональностей в знаменателях - везде появятся двойки. В числителе почти всё сокращается, кроме первого и последнего корня. Предел равен $1/\sqrt{2}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group