Доказать свойство матриц специального вида

[maximkarimov]

$A$ - неотрицательная вещественная матрица, каждый столбец которой является произвольным циклическим сдвигом ее первого столбца. Докажите, что при перестановке элементов $A$ характеристический многочлен матрицы $M = AA^T$ (произведение матрицы на свою транспонированную) меняется если и только если такая перестановка не является перестановкой строк и/или столбцов $A$ либо не является перестановкой равных элементов $A$ (в тривиальном случае).
ВНИМАНИЕ:
1. Циклический сдвиг является произвольным, если j-столбец циклически сдвинут относительно первого столбца вверх либо вниз на n-позиций НЕЗАВИСИМО от сдвига других столбцов.
2.Перестановка строк и/или столбцов означает как перестановку строк ИЛИ столбцов, так и перестановку строк И столбцов (композицию).

[Karan]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[svv]

maximkarimov в сообщении #1250926 писал(а):

меняется если и только если

Контрпример. Возьмём матрицу $A=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}$. Перестановкой элементов получим $B=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}=A^T$.

Матрицу $B$ нельзя получить из $A$ перестановками строк и столбцов. Тогда, согласно утверждению, должно быть $\chi(AA^T)\neq\chi(BB^T)$, то есть $\chi(AB)\neq\chi(BA)$. Но, как известно, для квадратных матриц $A$ и $B$ одного размера характеристические многочлены матриц $AB$ и $BA$ совпадают.

[maximkarimov]

svv в сообщении #1251334 писал(а):

Контрпример

Действительно, формулировка условий задачи содержит неточность.
Необходимое уточнение: "Докажите, что при перестановке элементов А, которая сохраняет ее свойство (зависимость столбцов)..." далее по тексту.

[NDP]

maximkarimov в сообщении #1251348 писал(а):

Необходимое уточнение: "Докажите, что при перестановке элементов А, которая сохраняет ее свойство (зависимость столбцов)..."

Что это значит?

[maximkarimov]

NDP в сообщении #1251351 писал(а):

Что это значит?

Это значит что перестановка элементов А, которая приведена в контрпримере, не является допустимой (столбцы матрицы В не являются циклическими сдвигами ее первого столбца).

[svv]

Сдвиньте первый столбец циклически на любое чётное число, получите второй.

Ещё до отправки Вашей темы в Карантин в стартовом сообщении был пример. Там второй столбец $A$ совпадал с первым, а третий отличался от них.

[maximkarimov]

svv в сообщении #1251357 писал(а):

Сдвиньте первый столбец на любое чётное число, получите второй.

svv в сообщении #1251334 писал(а):

Перестановкой элементов получим $B=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}$.

Как ни сдвигать первый столбец матрицы B ее второй столбец не получить.

[svv]

А разве этим свойством не должна обладать только матрица $A$?

[maximkarimov]

svv в сообщении #1251357 писал(а):

Там второй столбец $A$ совпадал с первым, а третий отличался от них.

Да, был приведен именно такой пример. Но там третий столбец являлся циклическим сдвигом первого столбца.

-- 28.09.2017, 00:17 --

svv в сообщении #1251360 писал(а):

А разве этим свойством не должна обладать только матрица $A$?

Матрица А должна обладать этим свойством как до, так и после перестановки.

[svv]

maximkarimov в сообщении #1251361 писал(а):

Матрица А должна обладать этим свойством как до, так и после перестановки.

Хорошо, я понял. Но Вы согласны, что перестановка строк $A$, вообще говоря, (а на практике чаще всего) это свойство не сохраняет? (в отличие от перестановки столбцов)

[maximkarimov]

svv в сообщении #1251363 писал(а):

Но Вы согласны, что перестановка строк $A$, вообще говоря (а на практике чаще всего), это свойство не сохраняет?

Согласен что "чаще всего", но не вообще говоря)
По сути, речь идет о том, что характеристический многочлен меняется если меняется набор циклических сдвигов - с уточнением, что наборы, которые получены перестановкой строк и/или столбцов, считаются эквивалентными.

[svv]

В одну сторону — легко: если матрица $B$ получена из $A$ перестановками строк и столбцов, то $\chi(AA^T)=\chi(BB^T)$. Тут никакие специальные свойства $A$ не требуются.

Достаточно доказать, что характеристический полином $AA^T$ не меняется при перестановке любых двух строк $A$, а также при перестановке любых двух столбцов $A$.

Пусть $B$ получается из $A$ перестановкой $i$-й и $k$-й строки, тогда $B^T$ получается из $A^T$ перестановкой $i$-го и $k$-го столбца, а $BB^T$ получается из $AA^T$ перестановкой и строк, и столбцов с этими номерами. Значит, $BB^T=U^{-1}AA^TU$ подобна $AA^T$ и имеет тот же характеристический полином. ($U$ — соответствующая матрица перестановки)

Пусть $B$ получается из $A$ перестановкой двух столбцов. Сводим этот случай к предыдущему:
$\chi(AA^T)=\lambda^k \chi(A^TA)=\lambda^k \chi(B^TB)=\chi(BB^T)$
Здесь $k$ — число строк минус число столбцов матрицы $A$, может быть любым целым числом.

[maximkarimov]

svv в сообщении #1251373 писал(а):

В одну сторону — легко: если матрица $B$ получена из $A$ перестановками строк и столбцов, то $\chi(AA^T)=\chi(BB^T)$. Тут никакие специальные свойства $A$ не требуются.

Да, это так. Более того, можно доказать, что характеристический полином $AA^T$ не меняется при умножении $A$ на любую ортогональную матрицу (в частности - на матрицу перестановки).