ортогональное дополнение в L_2[0,1]

[Spook]

Пусть $M=\{x(t)\in L_2[0,1]:\int\limits_{0}^{1}x(t)dt=0\}$ Требуется описать $M^{\bot}$. Как я понимаю в данном случае

$$M^{\bot}=\{y(t)\in L_2[0,1]:(x(t)\in M)\Rightarrow\int\limits_{0}^{1}x(t)y(t)dt=0\}$$

Интуитивно мне ясно, что это будут только константные функции, но вот доказать, что только они - пока не удалось.

[Echo-Off]

А не разложить ли функцию $x(t)$ в ряд Фурье?

ЗЫ: Надо говорить не $M^{\_|\_}$ (какой ужас!), а $M^{\bot}$.

M^{\bot}

[RIP]

Spook писал(а):

Как я понимаю в данном случае

$$M^{\_|\_}=\{y(t)\in M:(x(t)\in M)\Rightarrow\int\limits_{0}^{1}x(t)y(t)dt=0\}$$

Не совсем (маленькая ошибочка).

Можно ещё записать $M=L^\perp$ для некоторого $L$... Хотя через ряды Фурье в данном случае проще.

[bot]

Echo-Off писал(а):

\bot

Забавно - не знал
Другим пользовался

$\perp$

[Bard]

Spook.
Позвольте предложить Вам ещё один взгляд на задачу.
Пусть

\[ x \in \;M \]

. Введём функцию

\[ \varphi (t) = \int\limits_0^t {x(s)\,ds} \]

. Это абсолютно непрерывная функция:

\[ \varphi (0) = \;\varphi (1) \]

.
Тогда условие ортогональности будет выглядеть так

\[ \left( {y,\,\varphi '} \right) = \;0. \]

Следовательно, в смысле обобщённых функций производная функции

\[ y \]

равна нулю.

[ewert]

Spook писал(а):

Пусть $M=\{x(t)\in L_2[0,1]:\int\limits_{0}^{1}x(t)dt=0\}$ Требуется описать

$$M^{\_|\_}$$

. Как я понимаю в данном случае

$$M^{\_|\_}=\{y(t)\in M:(x(t)\in M)\Rightarrow\int\limits_{0}^{1}x(t)y(t)dt=0\}$$

Интуитивно мне ясно, что это будут только константные функции, но вот доказать, что только они - пока не удалось.

Нужно не столько доказательство, сколько ссылка на один довольно элементарный факт. У Вас по определению

$$M=N^{\perp}$$

, где множество $N$ состоит из одной-единственной функции, тождественно равной единице. Требуется найти, собственно,

$${N^{\perp}}^{\perp}$$

. Однако второе ортогональное дополнение -- это всегда замыкание линейной оболочки исходного множества. В Вашем случае множество всех констант и получается.

[Spook]

Echo-Off спасибо, я чего-то не нашел как этот значок обозначается
Вот, что у меня получилось при разложении в ряд Фурье:
$x(t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n(t)e_n$. После умножения на $y(t)$ получим:
$(y(t),x(t))=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n(t)(y(t),e_n)=0$ так как $y(t)$ ортогональна любому $x(t)$. Cобственно ничего нового кроме констант я увидеть не могу
RIP а что там за маленькая ошибочка? я если честно не вижу, написал по определению и все.
Bard к сожалению обобщенных функции не проходили, но интересно было бы посмотреть на решение, их использующее.

Добавлено спустя 13 минут:

ewert то, что ортогональное дополнение является подпространством мне известно, но вот как получить замыкание 1 я, признаться честно забыл , поэтому и хотел решить как-нибудь подругому.

[ewert]

Spook писал(а):

ewert то, что ортогональное дополнение является подпространством мне известно, но вот как получить замыкание 1 я, признаться честно забыл , поэтому и хотел решить как-нибудь подругому.

а и не надо специально получать никакого замыкания -- у нас линейная оболочка одномерна и, следовательно, замкнута автоматически. Я добавил слово "замыкание" лишь для пущей точности утверждения.

[AD]

Spook писал(а):

а что там за маленькая ошибочка?

$M^\bot=\{x\in M\ldots\}$ Если так определять, то всегда будет получаться нулевое пространство.

[Spook]

ewert ну вот у меня есть элемент : действительное число 1. Я располагаю только определением ортогонального дополнения и тем, что оно является подпространством. Отсюда у меня не получается сделать вывод, что ${1}^{\bot^{\bot}}=const$.

Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд:

AD, да надо убрать $x\in M$ он в принципе, может и не принадлежать М.

[Spook]

Линейная оболочка над 1 - любые комплексные константы, осталось это все связать в решение задачи.

[ewert]

Spook писал(а):

ewert ну вот у меня есть элемент : действительное число 1. Я располагаю только определением ортогонального дополнения и тем, что оно является подпространством. Отсюда у меня не получается сделать вывод, что ${1}^{\bot^{\bot}}=const$.

Я не понимаю, в чём проблема. Вроде что то множество представляет из себя все константы -- это вроде сомнений не вызывает. А вызывает сомнения его замкнутость.

Это я так понял, а я мог правильно и не понять. Но замкнутость конечномерного множества -- это общий факт, его доказывать не требуется.

[Spook]

ewert, меня пугает слово "линейная оболочка". Я её нашел, она совпадает с $\mathbb{C}$. То что она замкнута мне тоже известно(кстати она вроде еще и открыта): любая конечная окрестность точки содержится в $\mathbb{C}$ вместе с точкой, но вместе с тем не содержится только предельный элемент $\infty$. Осталось показать, что найденное множество и есть искомое. Вот в этом и трудности

[AD]

Spook писал(а):

То что она замкнута мне тоже известно(кстати она вроде еще и открыта): любая конечная окрестность точки содержится в $\mathbb{C}$ вместе с точкой, но вместе с тем не содержится только предельный элемент $\infty$.

Ой ё-моё, какая каша ...

Вы хорошо себе представляете, как выглядит одновременно открытое и замкнутое множество? Причем тут тривиальный факт $x\in U(x)\subseteq\mathbb C$? Откуда вы в функциональном анализе взяли $\infty$??

[Spook]

AD,я неправильно выразился, хотел сказать что все предельные элементы включены в множество и каждая точка принадлежит множеству вместе со своей окрестностью. Это разве не открытое и замкнутое множество?
По теме, как доказать, что найденная линейная оболочка является искомым множеством я так и непонял, но подошел с другой стороны и увидел, что :
$N^{\bot}=\{x(t)\in L_2[0,1]:\int\limits_{0}^{1}Cx(t)dt=0\}=M$ откуда $N^{\bot}^{\bot}=M^{\bot}$ что и требовалось доказать.
Но хотелось бы все понять как следует, как и решение через разложение в ряд.