2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 ортогональное дополнение в L_2[0,1]
Сообщение07.06.2008, 01:06 
Аватара пользователя
Пусть $M=\{x(t)\in L_2[0,1]:\int\limits_{0}^{1}x(t)dt=0\}$ Требуется описать $M^{\bot}$. Как я понимаю в данном случае $$M^{\bot}=\{y(t)\in L_2[0,1]:(x(t)\in M)\Rightarrow\int\limits_{0}^{1}x(t)y(t)dt=0\}$$
Интуитивно мне ясно, что это будут только константные функции, но вот доказать, что только они - пока не удалось.

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 01:46 
Аватара пользователя
А не разложить ли функцию $x(t)$ в ряд Фурье?

ЗЫ: Надо говорить не $M^{\_|\_}$ (какой ужас!), а $M^{\bot}$.

Код:
M^{\bot}

 
 
 
 Re: ортогональное дополнение
Сообщение07.06.2008, 01:58 
Аватара пользователя
Spook писал(а):
Как я понимаю в данном случае $$M^{\_|\_}=\{y(t)\in M:(x(t)\in M)\Rightarrow\int\limits_{0}^{1}x(t)y(t)dt=0\}$$

Не совсем (маленькая ошибочка).

Можно ещё записать $M=L^\perp$ для некоторого $L$... Хотя через ряды Фурье в данном случае проще.

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 04:45 
Аватара пользователя
Echo-Off писал(а):
Код:
\bot

Забавно - не знал :D
Другим пользовался
Код:
$\perp$

 
 
 
 Обобщённые функции
Сообщение07.06.2008, 08:27 
Spook.
Позвольте предложить Вам ещё один взгляд на задачу.
Пусть \[
x \in \;M
\]. Введём функцию \[
\varphi (t) = \int\limits_0^t {x(s)\,ds} 
\]. Это абсолютно непрерывная функция:\[
\varphi (0) = \;\varphi (1)
\].
Тогда условие ортогональности будет выглядеть так
\[
\left( {y,\,\varphi '} \right) = \;0.
\]
Следовательно, в смысле обобщённых функций производная функции \[
y
\] равна нулю.

 
 
 
 Re: ортогональное дополнение
Сообщение07.06.2008, 10:01 
Spook писал(а):
Пусть $M=\{x(t)\in L_2[0,1]:\int\limits_{0}^{1}x(t)dt=0\}$ Требуется описать $$M^{\_|\_}$$. Как я понимаю в данном случае $$M^{\_|\_}=\{y(t)\in M:(x(t)\in M)\Rightarrow\int\limits_{0}^{1}x(t)y(t)dt=0\}$$
Интуитивно мне ясно, что это будут только константные функции, но вот доказать, что только они - пока не удалось.

Нужно не столько доказательство, сколько ссылка на один довольно элементарный факт. У Вас по определению $$M=N^{\perp}$$, где множество $N$ состоит из одной-единственной функции, тождественно равной единице. Требуется найти, собственно, $${N^{\perp}}^{\perp}$$. Однако второе ортогональное дополнение -- это всегда замыкание линейной оболочки исходного множества. В Вашем случае множество всех констант и получается.

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 10:15 
Аватара пользователя
Echo-Off спасибо, я чего-то не нашел как этот значок обозначается :)
Вот, что у меня получилось при разложении в ряд Фурье:
$x(t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n(t)e_n$. После умножения на $y(t)$ получим:
$(y(t),x(t))=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n(t)(y(t),e_n)=0$ так как $y(t)$ ортогональна любому $x(t)$. Cобственно ничего нового кроме констант я увидеть не могу :(
RIP а что там за маленькая ошибочка? я если честно не вижу, написал по определению и все.
Bard к сожалению обобщенных функции не проходили, но интересно было бы посмотреть на решение, их использующее.

Добавлено спустя 13 минут:

ewert то, что ортогональное дополнение является подпространством мне известно, но вот как получить замыкание 1 я, признаться честно забыл :oops: , поэтому и хотел решить как-нибудь подругому.

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 10:35 
Spook писал(а):
ewert то, что ортогональное дополнение является подпространством мне известно, но вот как получить замыкание 1 я, признаться честно забыл :oops: , поэтому и хотел решить как-нибудь подругому.

а и не надо специально получать никакого замыкания -- у нас линейная оболочка одномерна и, следовательно, замкнута автоматически. Я добавил слово "замыкание" лишь для пущей точности утверждения.

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 10:39 
Spook писал(а):
а что там за маленькая ошибочка?

$M^\bot=\{x\in M\ldots\}$ Если так определять, то всегда будет получаться нулевое пространство.

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 11:47 
Аватара пользователя
ewert ну вот у меня есть элемент : действительное число 1. Я располагаю только определением ортогонального дополнения и тем, что оно является подпространством. Отсюда у меня не получается сделать вывод, что ${1}^{\bot^{\bot}}=const$.

Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд:

AD, да надо убрать $x\in M$ он в принципе, может и не принадлежать М.

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 15:09 
Аватара пользователя
Линейная оболочка над 1 - любые комплексные константы, осталось это все связать в решение задачи.

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 21:49 
Spook писал(а):
ewert ну вот у меня есть элемент : действительное число 1. Я располагаю только определением ортогонального дополнения и тем, что оно является подпространством. Отсюда у меня не получается сделать вывод, что ${1}^{\bot^{\bot}}=const$.

Я не понимаю, в чём проблема. Вроде что то множество представляет из себя все константы -- это вроде сомнений не вызывает. А вызывает сомнения его замкнутость.

Это я так понял, а я мог правильно и не понять. Но замкнутость конечномерного множества -- это общий факт, его доказывать не требуется.

 
 
 
 
Сообщение08.06.2008, 10:15 
Аватара пользователя
ewert, меня пугает слово "линейная оболочка". Я её нашел, она совпадает с $\mathbb{C}$. То что она замкнута мне тоже известно(кстати она вроде еще и открыта): любая конечная окрестность точки содержится в $\mathbb{C}$ вместе с точкой, но вместе с тем не содержится только предельный элемент $\infty$. Осталось показать, что найденное множество и есть искомое. Вот в этом и трудности :(

 
 
 
 
Сообщение08.06.2008, 16:57 
Spook писал(а):
То что она замкнута мне тоже известно(кстати она вроде еще и открыта): любая конечная окрестность точки содержится в $\mathbb{C}$ вместе с точкой, но вместе с тем не содержится только предельный элемент $\infty$.
Ой ё-моё, какая каша ...

Вы хорошо себе представляете, как выглядит одновременно открытое и замкнутое множество? Причем тут тривиальный факт $x\in U(x)\subseteq\mathbb C$? Откуда вы в функциональном анализе взяли $\infty$??

 
 
 
 
Сообщение08.06.2008, 18:39 
Аватара пользователя
AD,я неправильно выразился, хотел сказать что все предельные элементы включены в множество и каждая точка принадлежит множеству вместе со своей окрестностью. Это разве не открытое и замкнутое множество?
По теме, как доказать, что найденная линейная оболочка является искомым множеством я так и непонял, но подошел с другой стороны и увидел, что :
$N^{\bot}=\{x(t)\in L_2[0,1]:\int\limits_{0}^{1}Cx(t)dt=0\}=M$ откуда $N^{\bot}^{\bot}=M^{\bot}$ что и требовалось доказать.
Но хотелось бы все понять как следует, как и решение через разложение в ряд.

 
 
 [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group