Маятник в поле силы Лоренца

[lel0lel]

Munin в сообщении #1250122 писал(а):

Не могли бы вы расписать этот несложный анализ, особенно выделив в нём, как у вас линейное по скорости слагаемое силы Лоренца привело к чётному поведению суммы сил?

Хотел сначала написать такой ответ: стационарная скорость у нас одна, поэтому достаточно исследовать движения со скоростями большими и меньшими её. Для очень больших скоростей, центробежная сила так велика (квадратичная по скорости зависимость), что шарик отрывается от сферы и падает вниз, для очень маленьких (покоящийся шарик) тоже движение вниз. Ну а то, что зависимости по скорости разные в силе Лоренца и центробежной так это не беда - изредка такое может встречаться, если кратность вырождения стационарной скорости равна двум.
Решил проверить так ли у нас, смотрю на формулу для стац. скорости, а в ней корень с минусом по-простоту отброшен

lel0lel в сообщении #1249913 писал(а):

$$v=\frac{R\sin{\theta}}{2m}\left(qB+\sqrt{q^2B^2-\frac{4m^2g}{R\cos{\theta}}}\right)$$

Как итог: поскольку две стационарные скорости $v_1, v_2$, то в точках поворота возможно движение наверх, если шарик имеет скорость в интервале между ними. Есть этому и динамическое доказательство, но оно весьма длинное, быть может кому-то станет интересно, тогда распишу. Аргумент про то, что шарик не сможет набрать скорость для стабилизации тоже оказался не в кассу, раз теперь есть существенно меньшая скорость $v_1$.

[Munin]

lel0lel в сообщении #1250155 писал(а):

шарик отрывается от сферы

Извините, нет. Он привязан к сфере.

[physicsworks]

lel0lel в сообщении #1250155 писал(а):

шарик отрывается от сферы

это как отрывается?

Я тут написал лагражинан, если кто захочет свериться и/или исследовать на устойчивость, используя теорему, о которой я писал выше (пока лень это делать).

$$\mathcal{L} = m r^2 \left[ \frac{\dot{\theta}^2}{2} + \sin^2{\theta} \left( \frac{\dot{\varphi}^2}{2} - \omega_c \dot{\varphi} \right) \right] + mgr \cos{\theta}, $$

где $\omega_c = \frac{eB}{mc}$ --- циклотронная частота.

[lel0lel]

Munin в сообщении #1250162 писал(а):

lel0lel в сообщении #1250155 писал(а):

шарик отрывается от сферы

Извините, нет. Он привязан к сфере.

physicsworks в сообщении #1250164 писал(а):

это как отрывается?

Здесь я имел ввиду, что если сообщить ему достаточно большую горизонтальную скорость (например в результате удара), то он оторвётся. Это рассуждение для того, чтобы быстро заключить куда направлено ускорение при горизонтально направленных скоростях $v>v_2$.

[svv]

physicsworks
Давайте сверимся. Я исходил из формулы $\mathcal L=\frac{mv^2}{2}+\frac e c\mathbf A\cdot\mathbf v-mgz$ (формула (16.9) из ЛЛ2 минус потенциальная энергия массы в поле тяжести). Чтобы получилось $\mathbf B=B\mathbf e_z$, где $B=\operatorname{const}$, надо взять $\mathbf A=\frac 1 2 B r\sin\theta\;\mathbf e_{\varphi}$. В итоге

$$\mathcal L=\frac{mr^2}2 \left({\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta}+\frac {eB}{mc}\,\dot\varphi\,\sin^2\theta\right)-mgr\cos\theta$$

Разница с Вашим лагранжианом в паре знаков и в коэффициенте $\frac 1 2$ при слагаемом с $\omega_c$.

[physicsworks]

svv, ну насчет знаков то у меня магнитное поле просто торчит вниз, а насчет коэффициента --- различие принципиальное. Вы учитывали вклад $-\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{B}$? Он как раз-таки съел у меня этот самый $\frac{1}{2}$ коэффициент.

[svv]

С направлением магнитного поля — понял. У меня оно вверх.

physicsworks в сообщении #1250168 писал(а):

Вы учитывали вклад $-\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{B}$?

Нет, не учитываю. Очевидно, Вы приписываете заряду некоторый магнитный момент. Не пойму, откуда он берётся. Может быть, Вы рассматриваете вращающуюся систему, как в работе, процитированной ТС? (Я записываю $\mathcal L$ для лабораторной.)

Ну, и остаётся ещё знак при $mgr\cos\theta$. У меня $g$ — положительная константа, ось $z$ направлена вверх. Без учёта электромагнитного взаимодействия лагранжиан будет $T-U$, где $U=mgz=mgr\cos\theta$.

В моем предыдущем сообщении в формуле для $\mathbf A$ был пропущен коэффициент $B$. Исправил.

[Munin]

lel0lel в сообщении #1250165 писал(а):

Здесь я имел ввиду, что если сообщить ему достаточно большую горизонтальную скорость (например в результате удара), то он оторвётся.

Это если бы физически он представлял собой шарик, скользящий с внешней стороны по сфере. А этого не оговорено. Вы домыслили условия.

Сказано, что имеет место сферический маятник. Например, его можно реализовать как шарик, прикреплённый к стержню. Или шарик, двигающийся в щели.

В любом случае, апеллировать к отрыву вы не имеете права.

[svv]

В неподвижной системе у меня получился лагранжиан

$$\mathcal L=\frac{mr^2}2 \left({\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta}+\omega_c\,\dot\varphi\,\sin^2\theta-2\omega_0^2\;\cos\theta\right),$$

где $\omega_0=\sqrt{\frac g r}$.
Я проверил, что из него получаются те же уравнения движения, что и из записи уравнения $m\mathbf a=m\mathbf g+\mathbf N+\frac e c\mathbf v\times \mathbf B$ в сферических координатах:

$$\begin{array}{lcl}\ddot\theta &=&\omega_0^2\sin\theta+\omega_c\;\dot\varphi\;\sin\theta\cos\theta+\dot\varphi^2\,\sin\theta\cos\theta\\ \ddot\varphi\;\sin\theta&=&-\omega_c\;\dot\theta\;\cos\theta-2\;\dot\theta\;\dot\varphi\;\cos\theta\end{array}$$

Решать эти уравнения не требуется. Лагранжиан не зависит явно от $t$ и $\varphi$, поэтому система имеет два первых интеграла (энергия и обобщённый момент импульса, с точностью до постоянных множителей):

$$\begin{array}{l}\varepsilon=\frac 1 2(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta)+\omega_0^2\cos\theta\\ \mu=(\dot\varphi+\frac 1 2\omega_c)\sin^2\theta\end{array}$$

Выразим из второго уравнения $\dot\varphi$ и подставим в первое:

$$2\varepsilon=\dot\theta^2+\left(\frac{\mu}{\sin\theta}-\frac{\omega_c\sin\theta} 2\right)^2+2\omega_0^2\cos\theta$$

Это уравнение даёт связь между $\dot\theta$ и $\theta$. Все остальные входящие в него величины — константы. Его, на мой взгляд, и надо исследовать.

[amon]

Munin в сообщении #1250122 писал(а):

Лучше я позову Олега Зубелевича

Уже тут.

[Munin]

Я отчасти имел в виду "чтобы он пришёл, и выдал розог тем, кто этого заслуживает", но ваша ссылка тоже сгодится.

Спасибо! И спасибо ему, что он задолго заранее уже предвидел эту тему и исчерпывающе осветил её :-)