Укажите множество, являющееся своим собственным элементом

[CMTV]

Оригинальный текст задачи:

Цитата:

Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом.

На момент появления этой задачи я знаком с аксиомами абстракции и объемности.

Единственное, что приходит мне в голову - определение множества так:

$$ A = \{x:x=A\} $$

Но тогда у нас получается тавтология, так как мы используем определяемое понятие в определении. Да и вообще, согласно принципу абстракции форма от $ x $ вида $ x = A $ действительно однозначно определяет некоторое множество. Но никто не говорит, что оно определяет именно множество $ A $. Поэтому правильнее было бы записать:

$$ B = \{x:x=A\} \Rightarrow B = \{A\} $$

В итоге имеем, что $ B \notin B $, так как $ \{\{A\}\} \notin \{A\} $... А значит форма от $ x $ вида $ x = A $ не определяет множество, которое является элементом самого себя.

Так как же указать такое множество?

Еще вариант:

Рассмотрим форму от $x$ вида $x=x$.

$$ \Omega = \{x:x=x\} $$

Получается, что $\Omega$ состоит только из тех множеств, которые равны сами себе. Теперь проверим истинность высказывания $\Omega = \Omega$.
Это истинное высказывание, так как в противном случае существовал бы $x \in \Omega$, но одновременно $x \notin \Omega$. Получили противоречие, а значит этот $x\in\Omega$.

Так как $\Omega = \Omega$, то $\Omega$ попадает под условие формы $x=x$, с помощью которой мы задавали множество $\Omega$.

Следовательно, $\Omega \in \Omega$.

[Mikhail_K]

Цитата:

Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом.

Интересная формулировка.
Не "укажите", а "попробуйте указать"

CMTV в сообщении #1249143 писал(а):

На момент появления этой задачи я знаком с аксиомами абстракции и объемности.

И что, такая задача попалась в книге, где что-то говорится про аксиомы теории множеств?
Вообще, приведите источник. В самой популярной аксиоматической системе ZFC, такие множества не существуют, и их существование прямо запрещено одной из аксиом.

[CMTV]

Mikhail_K в сообщении #1249145 писал(а):

Цитата:

Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом.

Интересная формулировка.
Не "укажите", а "попробуйте указать"

CMTV в сообщении #1249143 писал(а):

На момент появления этой задачи я знаком с аксиомами абстракции и объемности.

И что, такая задача попалась в книге, где что-то говорится про аксиомы теории множеств?
Вообще, приведите источник. В самой популярной аксиоматической системе ZFC, такие множества не существуют, и их существование прямо запрещено одной из аксиом.

Сейчас прохожу первую главу книги Роберта Р. Столла "Множества. Логика. Аксиоматические теории". В первой главе рассматривается как раз наивная теория множеств со всеми вытекающими противоречиями (вроде парадокса Рассела). Никаких ограничений на аксиому абстракции (любая форма от $x$ однозначно определяет некоторое множество...) еще нет. Насколько я понял, ZFC будет рассмотрена далее.

Я дополнил свое первое сообщение. Это единственное, что я смог из себя вытянуть :)

[Mikhail_K]

Ну раз наивная, то Ваш последний вариант с $\Omega$ вполне годится.
А почему на самом деле так делать нельзя, будет рассказано дальше.
К этой задаче не нужно относиться слишком серьёзно. По-видимому, авторы это понимают и отразили в формулировке (не "укажите", а "попробуйте указать").

[Sinoid]

CMTV в сообщении #1249143 писал(а):

определение множества так:

$$ A = \{x:x=A\} $$

Но тогда у нас получается тавтология, так как мы используем определяемое понятие в определении

Это называется непредикативное определение.

[CMTV]

Sinoid в сообщении #1249205 писал(а):

CMTV в сообщении #1249143 писал(а):

определение множества так:

$$ A = \{x:x=A\} $$

Но тогда у нас получается тавтология, так как мы используем определяемое понятие в определении

Это называется непредикативное определение.

Правильно ли я понимаю, что и следующее определение множества, которое содержит само себя в качестве элемента, тоже непредикативное, а значит не может быть использовано как ответ на задачу?

$$ A = \{1,2,A\} $$

(просто логика и исчисление предикатов в книге, которую я читаю идут в следующей главе).

[Aritaborian]

Так это ж бесконечная рекурсия.

[CMTV]

Aritaborian в сообщении #1249252 писал(а):

Так это ж бесконечная рекурсия.

Мне кажется, любое множество, которое содержит само себя, порождает бесконечную рекурсию... Да и что в этом плохого?

[Sonic86]

Множество бесконечных множеств. (шутка)

[arseniiv]

CMTV в сообщении #1249249 писал(а):

непредикативное, а значит не может быть использовано как ответ на задачу

А почему вы решили, что эти вещи связаны так? UPD. Глупости пишу. Конечно же, аксиомы схемы неограниченного выделения имеют вид $\exists s\forall x(x\in s\leftrightarrow\varphi)$, где $\varphi$ не содержит свободной переменной $s$, так что $\exists s\forall x(x\in s\leftrightarrow x\in\{s,\ldots\})$ не годится.

А вот если вместо наивной теории взять какую-нибудь строгую без аксиомы регулярности (например, ZFC без аксиомы регулярности), мы не то чтобы предъявить интересующие множества не сможем — даже доказать их существование без предъявления конкретных, если соответствующая теория с аксиомой регулярности непротиворечива — если бы могли, добавление аксиомы регулярности приводило бы к противоречию. Надо полагать, у автора книги на уме что-то такое: дескать, вот попробуйте, а дальше я вам покажу, почему ничего такого не выйдет в непротиворечивой теории.

[CMTV]

arseniiv в сообщении #1249286 писал(а):

Надо полагать, у автора книги на уме что-то такое: дескать, вот попробуйте, а дальше я вам покажу, почему ничего такого не выйдет в непротиворечивой теории.

Мне это кажется даже логичным. Сначала дается простая наивная теория в том виде, в котором ее описал Кантор, пусть даже если в ней можно вывести противоречия. А затем, под предлогом того, что нужно избавиться от этих противоречий, как-то ограничивать (усложнять) наивную теорию.

Так сохраняется полнота картины и остается возможность немного пофантазировать при решении задач, подобно той, что я описал в первом сообщении.

-- 20.09.2017, 22:16 --

arseniiv, Sinoid и Mikhail_K - спасибо за ваши ответы и замечания.

Итак, задача формулируется так:

Цитата:

Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом. (имеется ввиду наивная теория множеств)

Решение

Рассмотрим форму от $x$ вида ''$x - \text{множество и } x=x$''. Согласно принципу абстракции эта форма однозначно и полностью определяет некоторое множество $\Omega$:

$$ \Omega = \{x:x - \text{множество и } x=x\} $$

Множество $\Omega$ состоит из абсолютно всех множеств, которые равны сами себе. Проверим, рано ли множество $\Omega$ само себе: $\Omega=\Omega$? Докажем от обратного. Пусть $\Omega\neq\Omega$.

Согласно принципу объемности множества равны только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Если два множества не равны, значит в одном из них имеются элементы, которых нет в другом. В нашем случае из того, что $\Omega\neq\Omega$ следует, что существует какой-то $x$, который принадлежит ''$\Omega$ слева от $\neq$'' и одновременно не принадлежит ''$\Omega$ справа от $\neq$''. Но с обеих сторон $\neq$ стоит одно и то же множество $\Omega$. Получается, что $x\in\Omega$ и одновременно $x\notin\Omega$. Получили противоречие. Это значит, что исходное утверждение ($\Omega\neq\Omega$) ложное. Значит $\Omega=\Omega$.


Указанная выше форма от $x$ образует множество $\Omega$ элементами которого являются только те множества, которые равны сами себе. Множество $\Omega$, как мы показали выше, равно само себе. Значит $\Omega$ является элементом $\Omega$:

$$\Omega\in\Omega$$

[george66]

Есть "аксиома антифундированности" Акцела, которая добавляется вместо аксиомы фундированности (регулярности) и позволяет строить множества рекурсивно, типа $A=\{A\}$, ничего страшного не происходит.

[mihaild]

В наивной теории можно хоть взять $\varnothing$ и доказать что $\varnothing \in \varnothing$.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1249205 писал(а):

CMTV в сообщении #1249143 писал(а):

определение множества так:

$$ A = \{x:x=A\} $$

Но тогда у нас получается тавтология, так как мы используем определяемое понятие в определении

Это называется непредикативное определение.

Это не только не является непредикативным определением, но и вообще не определение. Нельзя определять объект через самого себя. В списке элементов множества должны быть только имена уже определённых объектов. В непредикативном определении не встречается имя определяемого объекта.

-- Ср сен 20, 2017 23:16:57 --

mihaild в сообщении #1249323 писал(а):

В наивной теории можно хоть взять $\varnothing$ и доказать что $\varnothing \in \varnothing$.

Если Вы имеете в виду противоречивость наивной теории множеств, использующей неограниченный принцип свёртывания, то в ней, конечно, можно доказать что угодно. Если же таких противоречивых принципов не вводить, то доказать это нельзя, поскольку это противоречит определению пустого множества.

[CMTV]

mihaild в сообщении #1249323 писал(а):

В наивной теории можно хоть взять $\varnothing$ и доказать что $\varnothing \in \varnothing$.

Не согласен. Пустое множество определяется формой $x\neq x$ или любой другой формой, которая для любого объекта образует ложное высказывание.

Отсюда имеем, что в пустом множестве нет элементов, а значит оно не может принадлежать самому себе.

Эти рассуждения справедливы даже для наивной теории множеств.