2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 12:39 
Аватара пользователя


26/08/16
91
Москва
Оригинальный текст задачи:

Цитата:
Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом.


На момент появления этой задачи я знаком с аксиомами абстракции и объемности.

Единственное, что приходит мне в голову - определение множества так:

$$ A = \{x:x=A\} $$

Но тогда у нас получается тавтология, так как мы используем определяемое понятие в определении. Да и вообще, согласно принципу абстракции форма от $ x $ вида $ x = A $ действительно однозначно определяет некоторое множество. Но никто не говорит, что оно определяет именно множество $ A $. Поэтому правильнее было бы записать:

$$ B = \{x:x=A\} \Rightarrow B = \{A\} $$

В итоге имеем, что $ B \notin B $, так как $ \{\{A\}\} \notin \{A\} $... А значит форма от $ x $ вида $ x = A $ не определяет множество, которое является элементом самого себя.

Так как же указать такое множество?

Еще вариант:

Рассмотрим форму от $x$ вида $x=x$.

$$ \Omega = \{x:x=x\} $$

Получается, что $\Omega$ состоит только из тех множеств, которые равны сами себе. Теперь проверим истинность высказывания $\Omega = \Omega$.
Это истинное высказывание, так как в противном случае существовал бы $x \in \Omega$, но одновременно $x \notin \Omega$. Получили противоречие, а значит этот $x\in\Omega$.

Так как $\Omega = \Omega$, то $\Omega$ попадает под условие формы $x=x$, с помощью которой мы задавали множество $\Omega$.

Следовательно, $\Omega \in \Omega$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4875
Цитата:
Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом.
Интересная формулировка.
Не "укажите", а "попробуйте указать" :D
CMTV в сообщении #1249143 писал(а):
На момент появления этой задачи я знаком с аксиомами абстракции и объемности.
И что, такая задача попалась в книге, где что-то говорится про аксиомы теории множеств?
Вообще, приведите источник. В самой популярной аксиоматической системе ZFC, такие множества не существуют, и их существование прямо запрещено одной из аксиом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 13:00 
Аватара пользователя


26/08/16
91
Москва
Mikhail_K в сообщении #1249145 писал(а):
Цитата:
Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом.
Интересная формулировка.
Не "укажите", а "попробуйте указать" :D
CMTV в сообщении #1249143 писал(а):
На момент появления этой задачи я знаком с аксиомами абстракции и объемности.
И что, такая задача попалась в книге, где что-то говорится про аксиомы теории множеств?
Вообще, приведите источник. В самой популярной аксиоматической системе ZFC, такие множества не существуют, и их существование прямо запрещено одной из аксиом.


Сейчас прохожу первую главу книги Роберта Р. Столла "Множества. Логика. Аксиоматические теории". В первой главе рассматривается как раз наивная теория множеств со всеми вытекающими противоречиями (вроде парадокса Рассела). Никаких ограничений на аксиому абстракции (любая форма от $x$ однозначно определяет некоторое множество...) еще нет. Насколько я понял, ZFC будет рассмотрена далее.

Я дополнил свое первое сообщение. Это единственное, что я смог из себя вытянуть :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4875
Ну раз наивная, то Ваш последний вариант с $\Omega$ вполне годится.
А почему на самом деле так делать нельзя, будет рассказано дальше.
К этой задаче не нужно относиться слишком серьёзно. По-видимому, авторы это понимают и отразили в формулировке (не "укажите", а "попробуйте указать").

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 16:49 


03/06/12
2874
CMTV в сообщении #1249143 писал(а):
определение множества так:

$$ A = \{x:x=A\} $$

Но тогда у нас получается тавтология, так как мы используем определяемое понятие в определении

Это называется непредикативное определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 19:44 
Аватара пользователя


26/08/16
91
Москва
Sinoid в сообщении #1249205 писал(а):
CMTV в сообщении #1249143 писал(а):
определение множества так:

$$ A = \{x:x=A\} $$

Но тогда у нас получается тавтология, так как мы используем определяемое понятие в определении

Это называется непредикативное определение.


Правильно ли я понимаю, что и следующее определение множества, которое содержит само себя в качестве элемента, тоже непредикативное, а значит не может быть использовано как ответ на задачу?

$$ A = \{1,2,A\} $$

(просто логика и исчисление предикатов в книге, которую я читаю идут в следующей главе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 19:48 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Так это ж бесконечная рекурсия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 19:49 
Аватара пользователя


26/08/16
91
Москва
Aritaborian в сообщении #1249252 писал(а):
Так это ж бесконечная рекурсия.


Мне кажется, любое множество, которое содержит само себя, порождает бесконечную рекурсию... Да и что в этом плохого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 20:57 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Множество бесконечных множеств. (шутка)

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 21:16 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
CMTV в сообщении #1249249 писал(а):
непредикативное, а значит не может быть использовано как ответ на задачу
А почему вы решили, что эти вещи связаны так? UPD. Глупости пишу. Конечно же, аксиомы схемы неограниченного выделения имеют вид $\exists s\forall x(x\in s\leftrightarrow\varphi)$, где $\varphi$ не содержит свободной переменной $s$, так что $\exists s\forall x(x\in s\leftrightarrow x\in\{s,\ldots\})$ не годится.

А вот если вместо наивной теории взять какую-нибудь строгую без аксиомы регулярности (например, ZFC без аксиомы регулярности), мы не то чтобы предъявить интересующие множества не сможем — даже доказать их существование без предъявления конкретных, если соответствующая теория с аксиомой регулярности непротиворечива — если бы могли, добавление аксиомы регулярности приводило бы к противоречию. Надо полагать, у автора книги на уме что-то такое: дескать, вот попробуйте, а дальше я вам покажу, почему ничего такого не выйдет в непротиворечивой теории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 22:06 
Аватара пользователя


26/08/16
91
Москва
arseniiv в сообщении #1249286 писал(а):
Надо полагать, у автора книги на уме что-то такое: дескать, вот попробуйте, а дальше я вам покажу, почему ничего такого не выйдет в непротиворечивой теории.

Мне это кажется даже логичным. Сначала дается простая наивная теория в том виде, в котором ее описал Кантор, пусть даже если в ней можно вывести противоречия. А затем, под предлогом того, что нужно избавиться от этих противоречий, как-то ограничивать (усложнять) наивную теорию.

Так сохраняется полнота картины и остается возможность немного пофантазировать при решении задач, подобно той, что я описал в первом сообщении.

-- 20.09.2017, 22:16 --

arseniiv, Sinoid и Mikhail_K - спасибо за ваши ответы и замечания.

Итак, задача формулируется так:

Цитата:
Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом. (имеется ввиду наивная теория множеств)


Решение

Рассмотрим форму от $x$ вида ''$x - \text{множество и } x=x$''. Согласно принципу абстракции эта форма однозначно и полностью определяет некоторое множество $\Omega$:

$$ \Omega = \{x:x - \text{множество и } x=x\} $$

Множество $\Omega$ состоит из абсолютно всех множеств, которые равны сами себе. Проверим, рано ли множество $\Omega$ само себе: $\Omega=\Omega$? Докажем от обратного. Пусть $\Omega\neq\Omega$.

Согласно принципу объемности множества равны только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Если два множества не равны, значит в одном из них имеются элементы, которых нет в другом. В нашем случае из того, что $\Omega\neq\Omega$ следует, что существует какой-то $x$, который принадлежит ''$\Omega$ слева от $\neq$'' и одновременно не принадлежит ''$\Omega$ справа от $\neq$''. Но с обеих сторон $\neq$ стоит одно и то же множество $\Omega$. Получается, что $x\in\Omega$ и одновременно $x\notin\Omega$. Получили противоречие. Это значит, что исходное утверждение ($\Omega\neq\Omega$) ложное. Значит $\Omega=\Omega$.


Указанная выше форма от $x$ образует множество $\Omega$ элементами которого являются только те множества, которые равны сами себе. Множество $\Omega$, как мы показали выше, равно само себе. Значит $\Omega$ является элементом $\Omega$:

$$\Omega\in\Omega$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 22:32 
Заслуженный участник


31/12/15
954
Есть "аксиома антифундированности" Акцела, которая добавляется вместо аксиомы фундированности (регулярности) и позволяет строить множества рекурсивно, типа $A=\{A\}$, ничего страшного не происходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9264
Цюрих
В наивной теории можно хоть взять $\varnothing$ и доказать что $\varnothing \in \varnothing$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18013
Москва
Sinoid в сообщении #1249205 писал(а):
CMTV в сообщении #1249143 писал(а):
определение множества так:

$$ A = \{x:x=A\} $$

Но тогда у нас получается тавтология, так как мы используем определяемое понятие в определении

Это называется непредикативное определение.
Это не только не является непредикативным определением, но и вообще не определение. Нельзя определять объект через самого себя. В списке элементов множества должны быть только имена уже определённых объектов. В непредикативном определении не встречается имя определяемого объекта.

-- Ср сен 20, 2017 23:16:57 --

mihaild в сообщении #1249323 писал(а):
В наивной теории можно хоть взять $\varnothing$ и доказать что $\varnothing \in \varnothing$.
Если Вы имеете в виду противоречивость наивной теории множеств, использующей неограниченный принцип свёртывания, то в ней, конечно, можно доказать что угодно. Если же таких противоречивых принципов не вводить, то доказать это нельзя, поскольку это противоречит определению пустого множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Укажите множество, являющееся своим собственным элементом
Сообщение20.09.2017, 23:21 
Аватара пользователя


26/08/16
91
Москва
mihaild в сообщении #1249323 писал(а):
В наивной теории можно хоть взять $\varnothing$ и доказать что $\varnothing \in \varnothing$.


Не согласен. Пустое множество определяется формой $x\neq x$ или любой другой формой, которая для любого объекта образует ложное высказывание.

Отсюда имеем, что в пустом множестве нет элементов, а значит оно не может принадлежать самому себе.

Эти рассуждения справедливы даже для наивной теории множеств.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group