2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Сумма арифметической прогрессии
Сообщение29.06.2010, 19:15 


13/06/10
136
Всем привет. Есть ли точное доказательство, что сумма первых членов арифметической прогрессии равна n(n+1)/2. Только не по индукции. Сорри, если я создал тему не в том форуме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение29.06.2010, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13299
Учебник Алгебры за 9 класс. Святочный рассказ о маленьком Гауссе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение29.06.2010, 19:26 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Возьмите вторую такую же прогрессию, разверните задом наперёд и почленно сложите с первой: получите $n$ слагаемых, каждое из которых равно $n+1$ :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение29.06.2010, 20:17 


13/06/10
136
Посмотрите эту тему: http://irodov.nm.ru/cgi-bin/ikonboard/t ... topic=1210 пост #2. Это док-во верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение29.06.2010, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497

(Напомнило)


NNDeaz, а чем Вас уловка Гаусса не устроила (см. предыдущие посты)? Даже сама формула $n(n+1)/2$ на этот способ прозрачно намекает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение30.06.2010, 12:36 


22/09/09
374
Я в свое время этим баловался. Выводил формулы для суммы арифметической прогрессии, для суммы квадратов и кубов. Для арифметический прогрессии есть простой геометрический вывод, нужно всего лишь рассмотреть лесенку: внизу n квадратиков, выше n-1 квадратик и т.д. Дальше нужно рассмотреть квадрат n на n. А дальше смотря на 2 эти фигуры все можно понять!=) Похожий способ и для суммы квадратов, только уже в 3-х мерном пространстве. Для суммы кубов есть после этого, есть простое аналитическое доказательство.

А вообще, есть доказательство, что сумма элементов $i^n$, есть полином степени n+1! Мне как-то раз олимпиадная задача на это попадалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение30.06.2010, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
Shtirlic в сообщении #336396 писал(а):
А вообще, есть доказательство, что сумма элементов $i^n$, есть полином степени n+1!

Кстати, зная этот факт, можно находить эти суммы по методу неопр. коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение30.06.2010, 13:39 


22/09/09
374
meduza в сообщении #336400 писал(а):
Shtirlic в сообщении #336396 писал(а):
А вообще, есть доказательство, что сумма элементов $i^n$, есть полином степени n+1!

Кстати, зная этот факт, можно находить эти суммы по методу неопр. коэффициентов.

Об этом и речь!=)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение30.06.2010, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13299
Не пропадать же добру. (О геометрическом доказательстве формулы суммы кубов первых натуральных чисел. С картинками!)
http://dxdy.ru/topic25699.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение30.06.2010, 14:38 


22/09/09
374
Ладно, тогда простое аналитическое доказательство для суммы кубов, если мы знаем формулу суммы квадратов и арифметической прогрессии:
$\sum_{i=0}^n i^3=\sum_{i=0}^n (n-i)^3=n^3-3n^2\sum_{i=0}^n i+3n\sum_{i=0}^n i^2-\sum_{i=0}^n i^3$, отсюда $2\sum_{i=0}^n i^3=n^3-3n^2\sum_{i=0}^n i+3n\sum_{i=0}^n i^2$. Дальше думаю все ясно!=)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение30.06.2010, 15:32 


13/06/10
136
Кстати, в этом доказательстве

Изображение


Изображение


Изображение

Посмотрите второй лист, первую строчку.
Откуда взяли это равенство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение30.06.2010, 15:55 


22/09/09
374
gris в сообщении #336420 писал(а):
Не пропадать же добру. (О геометрическом доказательстве формулы суммы кубов первых натуральных чисел. С картинками!)
http://dxdy.ru/topic25699.html


Интересно!=) А ведь это та тема с которой я начал интересоваться этим вопросом!

NNDeaz
Это доказательство рассмотрю позже! Но если вас интересует общий случай! Я сейчас говорю про полином на степень выше суммироваемых элементов, я найду ту самую олимпиадную задачу, которая наводит на этот вывод!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение30.06.2010, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
NNDeaz
Вас интересует только сумма арифметичсекой прогрессии или обший случай $\sum_{k=1}^n k^m$? Если первое, то непонятно, зачем Вы стреляете по мухе из базуки (на месте преподавателя я бы за такое поставил двойку).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 01:28 


18/09/17
7
NNDeaz
Есть док-во без индукции, но надо отдельно рассмотреть случаи n=четное и n=нечетное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 01:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23023
Уфа
Не тяните же, покажите эти случаи, пожалуйста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group