Сумма арифметической прогрессии

[NNDeaz]

Всем привет. Есть ли точное доказательство, что сумма первых членов арифметической прогрессии равна n(n+1)/2. Только не по индукции. Сорри, если я создал тему не в том форуме.

[gris]

Учебник Алгебры за 9 класс. Святочный рассказ о маленьком Гауссе.

[Maslov]

Возьмите вторую такую же прогрессию, разверните задом наперёд и почленно сложите с первой: получите $n$ слагаемых, каждое из которых равно $n+1$ :)

[NNDeaz]

Посмотрите эту тему: http://irodov.nm.ru/cgi-bin/ikonboard/t ... topic=1210 пост #2. Это док-во верно?

[meduza]

(Напомнило)

http://dxdy.ru/post300061.html#p300061

NNDeaz, а чем Вас уловка Гаусса не устроила (см. предыдущие посты)? Даже сама формула $n(n+1)/2$ на этот способ прозрачно намекает.

[Shtirlic]

Я в свое время этим баловался. Выводил формулы для суммы арифметической прогрессии, для суммы квадратов и кубов. Для арифметический прогрессии есть простой геометрический вывод, нужно всего лишь рассмотреть лесенку: внизу n квадратиков, выше n-1 квадратик и т.д. Дальше нужно рассмотреть квадрат n на n. А дальше смотря на 2 эти фигуры все можно понять!=) Похожий способ и для суммы квадратов, только уже в 3-х мерном пространстве. Для суммы кубов есть после этого, есть простое аналитическое доказательство.

А вообще, есть доказательство, что сумма элементов $i^n$, есть полином степени n+1! Мне как-то раз олимпиадная задача на это попадалась.

[meduza]

Shtirlic в сообщении #336396 писал(а):

А вообще, есть доказательство, что сумма элементов $i^n$, есть полином степени n+1!

Кстати, зная этот факт, можно находить эти суммы по методу неопр. коэффициентов.

[Shtirlic]

meduza в сообщении #336400 писал(а):

Shtirlic в сообщении #336396 писал(а):

А вообще, есть доказательство, что сумма элементов $i^n$, есть полином степени n+1!

Кстати, зная этот факт, можно находить эти суммы по методу неопр. коэффициентов.

Об этом и речь!=)

[gris]

Не пропадать же добру. (О геометрическом доказательстве формулы суммы кубов первых натуральных чисел. С картинками!)
http://dxdy.ru/topic25699.html

[Shtirlic]

Ладно, тогда простое аналитическое доказательство для суммы кубов, если мы знаем формулу суммы квадратов и арифметической прогрессии:
$\sum_{i=0}^n i^3=\sum_{i=0}^n (n-i)^3=n^3-3n^2\sum_{i=0}^n i+3n\sum_{i=0}^n i^2-\sum_{i=0}^n i^3$, отсюда $2\sum_{i=0}^n i^3=n^3-3n^2\sum_{i=0}^n i+3n\sum_{i=0}^n i^2$. Дальше думаю все ясно!=)

[NNDeaz]

Кстати, в этом доказательстве









Посмотрите второй лист, первую строчку.
Откуда взяли это равенство?

[Shtirlic]

gris в сообщении #336420 писал(а):

Не пропадать же добру. (О геометрическом доказательстве формулы суммы кубов первых натуральных чисел. С картинками!)
http://dxdy.ru/topic25699.html

Интересно!=) А ведь это та тема с которой я начал интересоваться этим вопросом!

NNDeaz
Это доказательство рассмотрю позже! Но если вас интересует общий случай! Я сейчас говорю про полином на степень выше суммироваемых элементов, я найду ту самую олимпиадную задачу, которая наводит на этот вывод!

[meduza]

NNDeaz
Вас интересует только сумма арифметичсекой прогрессии или обший случай $\sum_{k=1}^n k^m$? Если первое, то непонятно, зачем Вы стреляете по мухе из базуки (на месте преподавателя я бы за такое поставил двойку).

[yra]

NNDeaz
Есть док-во без индукции, но надо отдельно рассмотреть случаи n=четное и n=нечетное.

[arseniiv]

Не тяните же, покажите эти случаи, пожалуйста.