2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 01:33 


18/09/17
7
Maslov
надо отдельно рассмотреть случаи n=четное и n=нечетное.

-- 19.09.2017, 01:41 --

arseniiv
Если Вы заслуженный то сами и подумайте. Эти случаи отличаются доказательствами, хотя результат одинаков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 02:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
yra
Есть прекрасное доказательство без индукции, на которое в этой старой теме уже ссылались: $$\begin{align*} \sum_{i=0}^m (a + di) &= \frac12\left(\sum_{i=0}^m (a + di) + \sum_{i=0}^m (a + d(m-i))\right) = \frac12\sum_{i=0}^m (a + di + a + dm - di) = \\ &= \frac12\sum_{i=0}^m (2a + dm) = \frac{(2a + dm)(m+1)}2. \end{align*}$$Вы видите у Гаусса ошибку, которой нет, и даже не хотите рассказать, где именно видите, чтобы можно было разобраться и помочь. Не хотите — как хотите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 02:45 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8951
 !  yra, предупреждение за возобновление темы из Пургатория («Сумма арифметической прогрессии») и за отказ отвечать на вопрос ЗУ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 03:17 


18/09/17
7
arseniiv
Да нет у Гаусса ошибки! Просто способ доказательства формулы отличается для четных и нечетных n.
Ребята, сейчас уже поздно. Предлагаю продолжить дискуссию завтра. Спокойной ночи. Извините за беспокойство.

-- 19.09.2017, 03:21 --

Toucan
Уважаемый Админ и arseniiv. Ребята, сейчас уже поздно. Предлагаю продолжить дискуссию завтра. Спокойной ночи. Извините за беспокойство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15779
Новомосковск
yra в сообщении #1248815 писал(а):
Просто способ доказательства формулы отличается для четных и нечетных n.
Абсолютно не отличается. Выписываем прогрессию в естественном порядке, под ней подписываем её же в обратном порядке. Получаем $n$ пар с одинаковой суммой. Умножая эту сумму на число членов, получим удвоенную сумму прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 13:39 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Someone
При нечётном числе членов последняя пара не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 13:51 


05/09/16
3581
atlakatl в сообщении #1248894 писал(а):
При нечётном числе членов последняя пара не получится.

Ок, берем прогрессию с нечетным числом членов $1,2,3$.
Складываем с "обратной" $1+2+3+3+2+1=(1+3)+(2+2)+(3+1)=4\cdot 3=12$ и делим пополам, получаем $6$
Какая пара не получается? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2023
Москва
atlakatl в сообщении #1248894 писал(а):
При нечётном числе членов последняя пара не получится.
Почему? В скобках после первого знака равенства стоят две одинаковых с точностью до перестановки членов суммы, дальше мы просто группируем одинаковые слагаемые.

В классическом доказательстве, где мы группируем слагаемые одной суммы по два, у нас действительно возникают проблемы при нечетном числе слагаемых. Если мы просто добавляем еще одну сумму - то таких проблем нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 14:12 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
wrest
mihaild
Дошло. Я последний с первым членом складывал, - и т.д. Но только одной прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 20:07 


18/09/17
7
Уважаемые форумчане, принявшие участие в дискуссии об ар. пр. Обращается к Вам "возмутитель спокойствия" yra. Причина, по которой я затронул эту проблему, будет изложена в конце. Рассмотрим док-во формулы без привлечения второй прогрессии. Ограничимся случаем натурального ряда чисел от 1 до n.
Разбиваем ряд на пары чисел, равноотстоящих от концов ряда. Сумма каждой пары равна n+1, для четного n количество пар равно n/2, перемножая получим искомую формулу. Для нечетного n сумма каждой пары по прежнему равна n+1, но кол-во пар равно (n-1)/2 и остается один непарный член посередине ряда равный (n-1)/2+1. В результате для суммы ряда получим (n+1)*(n-1)/2+(n-1)/2+1. После несложных преобразований получим ту же формулу, что и для четного n. В этом и заключалась моя "пурга".
Теперь о причинах моего обращения к этой теме. В газете АИФ №37 (стр. 21) я прочел статью о только что прошедшей в Москве олимпиады школьников крупнейших мегаполисов мира (химия, математика, физика и информатика). Мне очень понравилась замечательная мат. задача, приведенная в газете, решение которой тесно связано с обсуждаемой проблемой. Привожу условие задачи.
"На встречу выпускников пришли несколько человек, и каждый из них пожал каждому руку. Всего было совершено 435 рукопожатий. Сколько человек пришло на встречу." Задания доступны на сайте Олимпиады мегаполисов.
И в заключение. Надеюсь мое пространное письмо послужит моим извинением за поднятую "пургу".
С уважением, yra.

-- 19.09.2017, 20:24 --

Toucan
Уважаемый админ прошу прочесть мое последнее сообщение и не исключать меня из членов форума. Форум мне очень понравился и я извиняюсь с задержкой с ответом пользователю ЗУ arseniiv. Можно удалить ненужную переписку.
Пользователь yra.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15779
Новомосковск
yra в сообщении #1248995 писал(а):
"На встречу выпускников пришли несколько человек, и каждый из них пожал каждому руку. Всего было совершено 435 рукопожатий. Сколько человек пришло на встречу."
И что? Причём здесь арифметические прогрессии? Решается моментально без всяких прогрессий.
Подобные задачи лет 40 назад встречались на вступительных экзаменах. Вот примеры из вступительных экзаменов в НФ МХТИ им. Д. И. Менделеева (сейчас называется НИ РХТУ им. Д. И. Менделеева).

1) После выпуска из школы ученики обменялись фотографическими карточками. Сколько было учеников, если они обменялись 870 карточками?

Разумеется, карточек ровно вдвое больше, чем рукопожатий.

2) В шахматном матч-турнире каждый участник играет со всеми остальными по 4 партии. Сколько было участников, если всего было сыграно 60 партий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5557
Someone в сообщении #1249007 писал(а):
В шахматном матч-турнире каждый участник играет со всеми остальными по 4 партии. Сколько было участников, если всего было сыграно 60 партий?
Хм. Я, наверное, отупел под вечер рабочего дня, но у меня получается дробное число участников...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15779
Новомосковск
Anton_Peplov в сообщении #1249012 писал(а):
у меня получается дробное число участников
Наверное, на 2 поделить забыли… Шахматные партии — как рукопожатия, их в два раза меньше, чем фотографий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5557
Someone в сообщении #1249014 писал(а):
Наверное, на 2 поделить забыли
Да-да, именно. Пока искал, куда сунул мышку, Вы уже написали. Всё-таки беспроводные технологии - это иногда очень неудобно :))))

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арифметической прогрессии
Сообщение19.09.2017, 21:18 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8951
 !  yra,
yra в сообщении #1248815 писал(а):
Ребята, сейчас уже поздно.
замечание за фамильярность
yra в сообщении #1248995 писал(а):
Уважаемый админ прошу прочесть мое последнее сообщение и не исключать меня из членов форума.
и за оффтопик: для общения с администрацией форума существуют личные сообщения и раздел "Работа форума"; в тематических разделах ему не место.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group