Прыгающий шарик. Две плоскости

[lel0lel]

Да, теперь вижу, что запретив шарикам упруго соударяться мы не получим нужного распределения по скоростям. Следовательно стат. метод не работает.

realeugene в сообщении #1245047 писал(а):

Проверочная задача. Шарик падает вертикально с высоты $h$ на твёрдую горизонтальную поверхность и упруго отскакивает обратно, таким образом, что движение шарика одномерное и без потери энергии. Найти как минимум двумя различными способами плотность вероятности обнаружить шарик на высоте $y$ в случайный момент времени.

$p(y)=\frac{1}{2\sqrt{h(h-y)}}$

[realeugene]

Двумя различными способами. Ответ в одномерной проверочной задаче отличается от ответа в исходной задаче с углом.
Статметод прекрасно работает, если его правильно применять.

[Pphantom]

(lel0lel)

lel0lel в сообщении #1244995 писал(а):

Высота политропной атмосферы конечна, Вы можете сами в этом убедиться, получив явную формулу.

А можно поинтересоваться, что именно Вы называете "политропной атмосферой" и почему температура у нее будет меняться линейно?

[fred1996]

lel0lel
Пока что только на интуитивном уровне могу сформулировать следующее утверждение:
Если в сисиеме есть некоторая иррациональность (иррегулярность), в ней не будет накаких дыр. То есть в представленой задаче, если плавно менять угол, то только для множества значений угла меры ноль озможны существования дыр. В остальных случаях непериодические траектории будут заметать весь треугольник, исключая точки потолка. Тоесть это будет треугольник, открытый сверху.
В качестве примера регулярной задачи могу привести такой пример:
Пусть у нас есть опять двумерная задача, но без гравитации.
Частица летает внутри окружности, упруго соударяясь со стенками. Очевидно что она будет соударяться с окружностью всегда под одним углом. При этом если угол имеет величину $\alpha=a\frac{\pi}{2}$, где $a$ - любое положительное иррациональное число меньше единицы, то траектория частицы будет заметать всю внутренность круга за исключением некоторого кружка по центру изначального круга. И, таким образом, для данной задачи тоже можно сосчитать плотность вероятности нахождения частицы в точках выделенной области. Ну а дыра в данном случае обеспечивается регулярностью в виде идеальной окружности.
Немножко более интересная постановка для задачи будет следующая. Пусть у нас начальные условия не заданы, а произвольны. То есть с равной вероятностью частица может находиться в любой точке внутри круга с любым направлением скорости. Надо посчитать плотность вероятности для такой задачи.


Мне кажется, что существование дыр в таких задачах, это скорее из области математических фокусов. То есть если сформулировать задачу таким образом, что потребовать например закон сохранения энергии, но убрать строгий закон отскока, что угол падения равен углу отражения - вполне ведь физическое требование. То есть угол падения почти равен углу отражения с маленькой но ненулевой вероятностью чуть другого отскока - пусть это будет такой весьма остренький пичок, но не дельта функция. То это требование моментально ликвидирует все возможные дыры в таких задачах. Да и ликвидирует моментально периодические траектории.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1245263 писал(а):

Частица летает внутри окружности, упруго соударяясь со стенками. Очевидно что она будет соударяться с окружностью всегда под одним углом. При этом если угол имеет величину $\alpha=a\frac{\pi}{2}$, где $a$ - любое положительное иррациональное число меньше единицы, то траектория частицы будет заметать всю внутренность круга за исключением некоторого кружка по центру изначального круга. И, таким образом, для данной задачи тоже можно сосчитать плотность вероятности нахождения частицы в точках выделенной области. Ну а дыра в данном случае обеспечивается регулярностью в виде идеальной окружности.

Кстати, хороший пример, в котором дыры (недостижимые области) присутствуют не только в пространственном распределении, но и в распределении по направлениям скоростей для окрестности каждой точки. Причём, эти дыры в распределении скоростей имеют ненулевую меру для каждой пространственной точки.

fred1996 в сообщении #1245263 писал(а):

Пусть у нас начальные условия не заданы, а произвольны. То есть с равной вероятностью частица может находиться в любой точке внутри круга с любым направлением скорости. Надо посчитать плотность вероятности для такой задачи.

Из-за этих дыр такую задачу наверняка проще считать в лоб. Впрочем, можно поставить задачу посчитать вероятность и через теорему Лиувилля, после чего сравнить ответы.

В лоб это так:

1. Посчитать для заданного момента импульса долю длин равномерно распределённых по углу хорд, пересекающих заданную малую окрестность каждой пространственной точки.
2. Для заданного начального распределения посчитать распределение момента импульса.
3. Воспользоваться определением условной вероятности.

-- 05.09.2017, 09:40 --

Впрочем, что такое "ненулевая мера дыры в распределении скоростей" требует аккуратного уточнения, так как для одной частицы, а не для ансамбля, количество различных направлений скорости будет счётным в любом случае.

[fred1996]

realeugene в сообщении #1245299 писал(а):

fred1996 в сообщении #1245263 писал(а):

Пусть у нас начальные условия не заданы, а произвольны. То есть с равной вероятностью частица может находиться в любой точке внутри круга с любым направлением скорости. Надо посчитать плотность вероятности для такой задачи.

Из-за этих дыр такую задачу наверняка проще считать в лоб. Впрочем, можно поставить задачу посчитать вероятность и через теорему Лиувилля, после чего сравнить ответы.

В лоб это так:

1. Посчитать для заданного момента импульса долю длин равномерно распределённых по углу хорд, пересекающих заданную малую окрестность каждой пространственной точки.
2. Для заданного начального распределения посчитать распределение момента импульса.
3. Воспользоваться определением условной вероятности.

На самом деле это задача-шутка. И ответ можно выдать вообще без подсчетов.
Ну можете посчитать и сразу увидите в чем подвох. :)
Я, кстати, похожую задачу уже давал тут, но в более навороченном виде. Хотя ответ от навороченности не зависит.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1245305 писал(а):

На самом деле это задача-шутка.

Ах, ну да, идеальный газ.

[lel0lel]

Pphantom
под политропной атмосферой я подразумевал статическую т/д систему (типа идеального газа) в поле тяжести, с линейной зависимостью температуры от высоты. Из уравнения состояния и уравнения равновесия слоёв газа можно получить, что параметры атмосферы должны подчиняться политропному закону $pv^n=\text{Const}$, при $n=\gamma$ адиабата. Как выяснилось, модель для обсуждаемой задачи крайне неудачная по ряду причин: 1) прыгающие шарики - не идеальный газ, т.к. распределение по скоростям не максвелловское; 2) если запретить им взаимодействовать (а это нужно сделать, поскольку мы хотим решить задачу об одном шарике, которому летать ничего не мешает), то уравнение равновесия слоёв газа записывать нельзя, собственно на этом можно отказываться от использования данной модели для решения обсуждаемой задачи.
fred1996

[lel0lel]

fred1996
пример с окружностью нагляден. Справедливости ради нужно заметить, что в этом примере можно выбрать систему координат (полярные) таким образом, что координата $\rho$ будет периодической функцией времени, следовательно мы имеем дело только с одной непериодической координатой $\varphi$.

Попробуем доказать отсутствие дыр в этом примере хотя бы на окружности:
пусть угол падения $\alpha$, тогда каждый удар (точнее от удара до удара) соответствует повороту вдоль окружности на угол $180-2\alpha$; пусть мы запустили шарик с окружности и хотим, чтобы он вернулся в $\varepsilon$ окрестность точки запуска, этому соответствует неравенство $|(180-2\alpha)m-360n|<\varepsilon$, где m - число ударов, а n- число полных проходов по окружности. Далее получим $|90k/m-\alpha|<\frac{\varepsilon}{2m}$, то бишь, задача свелась к рациональному представлению иррационального числа $\alpha$ (углы в градусах) с точностью не хуже $\frac{\varepsilon}{2m}$. В общем случае хорошее рациональное представления $\alpha$ будет достигнуто при большом значении знаменателя $m$. Значит в эпсилон окрестность точка вернётся, если $\alpha$ имеет в десятичной записи участки с большим количеством последовательных нулей или очень хорошие рациональные приближения с маленьким $m$. Выходит, что даже на окружности могут быть дыры, если я нигде не наврал.

[fred1996]

Чем больше голове вертится эта задача, тем больше возникает сомнений в корректности постановки задачи.
Изложу пока что меня тревожит.
Пусть задача формулируется таким образом что в начальный момент времени у нас есть равномерная концентрация шарикоа в пространстве и по всем направлениям скоростей с одинаковой полной энергии, равной потенциальной энергии на верхней стороне треугольника на изначальном рисунке. Надо найти концентрацию в пространстве (и по направлению скоростей) через достаточно большой промежуток времени. Но тут у нас вылезает следующая неопределенность. Видимо в изначальном фазовом пространстве положений и скоростей существует подмножество меры ноль точек, соответствующих периодическим движениям шариков. То есть все эти траектории задают бесконечные плотности вероятности на множестве меры ноль. Вот вам первая неопределенность. Если мы ее попытаемся исключить, то все равно существуют траектории, бесконечно близкие к этим колебательным траекториям. И за любое огромное время на этих траекториях будут происходить практически колебательные движения. И никуда от этой неопределенности не деться. Неопределенност нуля помноженного на бесконечность. Итегрирование же этой неопределенности может внести любой сюрприз в конечный результат.
Поэтому можно было бы опять переформулировать задачу таким образом, что пусть все столкновения абсолютно упругие, но только почти детерменированные законом отражения. То есть угол отражения будет случайным образом чуть-чуть отличаться от угла падения. Я об этом уже писал где-то выше. Таким образом моментально (я надеюсь), исчезают все эти неопределенности. Не будет никаких дыр и периодических движений тоже.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1245734 писал(а):

То есть все эти траектории задают бесконечные плотности вероятности на множестве меры ноль.

Вероятность задают не траектории, а начальные условия. Если задать начальные условия как равномерное распределение по координатам и направлениям, то вероятность попасть на множество меры нуль периодических решений равна нулю.

fred1996 в сообщении #1245734 писал(а):

Поэтому можно было бы опять переформулировать задачу таким образом, что пусть все столкновения абсолютно упругие, но только почти детерминированные законом отражения.

В такой формулировке мы мгновенно получаем классический идеальный газ с максвелловским распределением скоростей.

[fred1996]

realeugene в сообщении #1245762 писал(а):

fred1996 в сообщении #1245734 писал(а):

То есть все эти траектории задают бесконечные плотности вероятности на множестве меры ноль.

Вероятность задают не траектории, а начальные условия. Если задать начальные условия как равномерное распределение по координатам и направлениям, то вероятность попасть на множество меры нуль периодических решений равна нулю.

Мы же пытаемся понять, какова плотность вероятности найти шарик в какой-то точке пространства через очень большой промежуток времени. То есть найти предел. Но дело в том, что какой бы большой мы ни задали промежуток времени, Всегда найдутся почти периодические траектории, очень близкие к периодическим. Такие, что они совсем не заметают все пространство. И они образуются из начальных условий ненулевой меры. То есть налицо неопределенность. И какое распределение плотности вероятностей дают эти почти периодические траектории, одному богу известно.

-- 06.09.2017, 22:24 --

fred1996 в сообщении #1245734 писал(а):

Поэтому можно было бы опять переформулировать задачу таким образом, что пусть все столкновения абсолютно упругие, но только почти детерминированные законом отражения.

Цитата:

В такой формулировке мы мгновенно получаем классический идеальный газ с максвелловским распределением скоростей.

Там у нас один шарик. И сам с собой он не может сталкиваться. Я имею ввиду столкновения со стенками. Скорость зависти только от высоты

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1245765 писал(а):

Всегда найдутся почти периодические траектории, очень близкие к периодическим.

"Очень близкие к периодическим" - это непериодические. Они не интересны, так как рано или поздно уйдут от периодических.

fred1996 в сообщении #1245765 писал(а):

Там у нас один шарик. И сам с собой он не может сталкиваться. Я имею ввиду столкновения со стенками. Скорость зависти только от высоты

Да, про пупырчатые стенки я тоже думал. Боюсь, доказать отсутствие периодических решений всё же невозможно. Можно попробовать доказать их обязательное существование, пользуясь непрерывностью законов отражения.

[lel0lel]

Почитал о приближении вещественных чисел рациональными (диофантово приближение), узнал много нового для себя.
1) алгебраические числа хуже трансцендентных аппроксимируются рациональными числами, более точно - мера иррациональности для алгебраических равна $2$, а для трансцендентных больше или равна $2$ (на этом основан один из способов доказательства трансцендентности чисел);
2) следствие теоремы Гурвица:

wikipedia писал(а):

любое иррациональное число $\alpha$, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений $p/q$, удовлетворяющих неравенству $|\alpha-p/q|<1/q^2$.

Как было показано выше, вопрос о возвращении шарика в $\varepsilon$-окрестность точки запуска сводится к нахождению рационального приближения угла отскока $\alpha$, необходимо чтобы $|\alpha/90-p/q|<\varepsilon/(180 q)$. Согласно приведенной выше теореме, чтобы найти такое $p/q$ мы можем взять любое рациональное приближение с достаточно большим знаменателем, чтобы выполнялось $q>180/\varepsilon$. Поскольку такое рациональное приближение всегда существует, то в эпсилон-окрестность точка обязательно вернётся, пусть для этого и потребуется число отскоков $\sim 1/\varepsilon$. Вывод: по прошествии бесконечно большого времени траектория шарика будет сколь угодно близко подходить к любой точке, т.е. можно считать, что дыр не будет, кроме внутренности центрального круга радиуса $R\sin\alpha$, где $R$-радиус самой исходной окружности.

realeugene в сообщении #1245770 писал(а):

fred1996 в сообщении #1245765 писал(а):

Всегда найдутся почти периодические траектории, очень близкие к периодическим.

"Очень близкие к периодическим" - это непериодические. Они не интересны, так как рано или поздно уйдут от периодических.

Это скорее проблема эксперимента, если мы включаем компьютер и просим его посчитать примерное распределение шарика внутри области, а шарик "запетлен" на почти периодическую траекторию, то потребуется ждать очень большое время, чтобы получить хотя бы приблизительно верный результат (в этом случае угол падения очень близок к рациональному). Таким образом, для компьютера самые плохие "запетливания" это те, которые близки к периодическому движению с малым числом отскоков.

Раз уж выяснилось, что на бесконечности распределение точек траектории будет равномерным по $\varphi$ (если $\alpha$ иррационально), то плотность этого распределения при бесконечно длительном заметании круга радиуса $R$ шариком, запущенным с углом отскока $\alpha$:
$p(\rho,\varphi)=\rho/\left(2\pi R\cos{\alpha}\sqrt{\rho^2-R^2\sin^2{\alpha}}\right)$.

[realeugene]

lel0lel в сообщении #1245855 писал(а):

шариком, запущенным с углом отскока $\alpha$

В круге? Это как?