Почитал о приближении вещественных чисел рациональными (диофантово приближение), узнал много нового для себя.
1) алгебраические числа хуже трансцендентных аппроксимируются рациональными числами, более точно - мера иррациональности для алгебраических равна

, а для трансцендентных больше или равна

(на этом основан один из способов доказательства трансцендентности чисел);
2) следствие теоремы Гурвица:
wikipedia писал(а):
любое иррациональное число

, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений

, удовлетворяющих неравенству

.
Как было показано выше, вопрос о возвращении шарика в

-окрестность точки запуска сводится к нахождению рационального приближения угла отскока

, необходимо чтобы

. Согласно приведенной выше теореме, чтобы найти такое

мы можем взять любое рациональное приближение с достаточно большим знаменателем, чтобы выполнялось

. Поскольку такое рациональное приближение всегда существует, то в эпсилон-окрестность точка обязательно вернётся, пусть для этого и потребуется число отскоков

. Вывод: по прошествии бесконечно большого времени траектория шарика будет сколь угодно близко подходить к любой точке, т.е. можно считать, что дыр не будет, кроме внутренности центрального круга радиуса

, где

-радиус самой исходной окружности.
Всегда найдутся почти периодические траектории, очень близкие к периодическим.
"Очень близкие к периодическим" - это непериодические. Они не интересны, так как рано или поздно уйдут от периодических.
Это скорее проблема эксперимента, если мы включаем компьютер и просим его посчитать примерное распределение шарика внутри области, а шарик "запетлен" на почти периодическую траекторию, то потребуется ждать очень большое время, чтобы получить хотя бы приблизительно верный результат (в этом случае угол падения очень близок к рациональному). Таким образом, для компьютера самые плохие "запетливания" это те, которые близки к периодическому движению с малым числом отскоков.
Раз уж выяснилось, что на бесконечности распределение точек траектории будет равномерным по

(если

иррационально), то плотность этого распределения при бесконечно длительном заметании круга радиуса

шариком, запущенным с углом отскока

:

.