Прыгающий шарик. Две плоскости

[fred1996]

Оказалось, что эта задача имеет достаточно интересное самостоятельное значение.
Итак, с высоты $h$ на две наклонные плоскости падает шарик с нулевой начальной скоростью. Оба угла пусть будут $\alpha$, а начальная $x$ координата $x_0$. Ускорение свободного падения $g$. Все удары абсолютно упругие и задача двумерная.
Найти плотность вероятности находжения шарика в какой-то точке пространства $f(x,y)$. Опять забудем про вырожденые случаи, когда траектория повторяет себя, и рассмотрим только варианты, когда траектория заметает некие выделенные участки пространства.
Для начала можно решить простенькую задачку для случая $\alpha=\frac{\pi}{4}$, который в известном смысле (каком?) является вырожденным.

[pogulyat_vyshel]

К сожалению, Вы клинически неспособны понять, что в детероминированных системах ни каких вероятностей не бывает, по крайней мере, до тех пор, пока Вы сами не введете распределение для начальных данных, например. Вот Вы уже открыли вторую тему. Ну решите сами свою задачу, и я Вам укажу пальцем, где Ваше решение делается некорректным

[lel0lel]

fred1996 в сообщении #1244869 писал(а):

Найти плотность вероятности нахождения шарика в какой-то точке пространства $f(x,y)$.

В системе (шарик точечный) не очевидно, что за сколь угодно большое, но конечное время траектория будет заметать ненулевую площадь, поэтому условие нормировки $\int\limits_{\Sigma}f(x,y)dxdy=1$ в этом случае лишено смысла. Даже если ненулевая площадь получится, то $\Sigma$ может иметь бесконечно много "дыр", в которых точка не бывала и никогда не будет. Всё это говорит о том, что спрашивать о плотности распределения вероятности в пространстве смысла нет.

fred1996 в сообщении #1244869 писал(а):

Опять забудем про вырожденные случаи, когда траектория повторяет себя, и рассмотрим только варианты, когда траектория заметает некие выделенные участки пространства.

Как раз наоборот - надо рассматривать только периодические траектории, тогда и плотность вероятности можно ввести разумно, например, как время пребывания системы на дифференциально малом участке фазовой кривой отнесённое к периоду. Нормировка в этом случае - это равенство единице криволинейного интеграла вдоль кривой от плотности вероятности.

Простой пример это математический маятник: $x(t)=A\cos(2\pi t/T)$, имеем $|dx|=A 2\pi dt/T\sqrt{1-\cos^2{(2\pi t/T)}}$. Так как траектории "туда" и "обратно" совпадают, и один и тот же участок в обеих направлениях маятник проходит за одинаковые интервалы времени, для плотности вероятности координаты можно записать $p(x)dx=2dt/T$. Возвращаясь к предыдущему дифференциальному соотношению, и, делая в нём замену $\cos^2{(2\pi t/T)}=x^2/A^2$, получим $p(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{A^2-x^2}}$. Легко проверить, что $\int_{-A}^{A}p(x)dx=1$.

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Просьба, воздерживаться от выражений типа "клинически неспособны".
В противном случае я просто буду игнорировать ваши сообщения.
Я только что опубликовал задачу.
В этом разделе неэтично вестись на троллинг и моментально публиковать свое решение. Обычно это делается по просьбам трудящихся через какое-то время после публикации.
В качестве достаточно простой задачи я уже указал на вариант с углом $\frac{\pi}{4}$

lel0lel
Нас окружает гораздо больше иррациональных чисел, чем рациональных. Только при рациональных соотношениях некоторых параметров задачи возможны периодические движения. В иррациональных случаях, которых большинство (будете спорить?), существуют области, в которых нет никаких дыр в том плане, что для любой наперед заданной точки траектория в какой-то момент пройдет на каком угодно близком расстоянии от этой точки. Элементарно, разбейте наш треугольник положений на маленькие квадратики и сосчитайте (можно на компьютере) время нахождения шарика в каждом квадратике. Это время и будет пропорционально плотности вероятности при стремлении времени эксперимента к бесконечности.
Вообще говоря здесь только случай 45 градусов является вырожденным. То есть когда заметается не весь треугольник.

[lel0lel]

fred1996
я понял о чем Вы говорите. В этом случае задача носит статистический характер, никаких "волновых свойств" мы не обнаружим (если не ошибаюсь, Вы искали взаимосвязь с КМ). Чтобы не дожидаться когда наступит бесконечно удалённый момент времени, запускаем в нашу систему $N\to\infty$ шариков, обладающих одинаковыми полными энергиями и способностью не взаимодействовать друг с другом. Начальные условия запуска шариков произвольны. Тогда мы имеем систему типа идеального газа в поле тяжести, температура газа изменяется с высотой, обращаясь в ноль на верхней границе $\theta(h)=0$. Пользуемся барометрической формулой (записанной для концентрации газа) для политропной атмосферы, т.е. с линейно меняющейся температурой $\theta(z)=2/3mg(h-z)$. Вероятность пребывания шарика в некоторой области определяем как число частиц в этой области (его легко найти, вычислив соответствующий интеграл от концентрации) делённое на полное число частиц.

[fred1996]

lel0lel
Ну вот, другое дело.
Конечно никакой связи с КМ нет. Я просто попытался объяснить, откуда меня посетила эта идея. Кстати, только что рассказал дочке об этом. Она божится, что на семинаре по теормеху подобные задачи решали. Говорит что и в Гольдштейне что-то на эту тему есть. Надо будет проверить. А я точно помню, что у нас на семинарах по теормеху этого не было.

Кстати, а вы считаете, что направления скоростей в любой точке равновероятны?
И как доказать, что шарики всегда доберутся до любой точки. Ведь для угла в 45 градусов это не так. Ну а вообще, когда я задавал эту задачу, у меня было интуитивное чувство, что эта функция зависит только от высоты и вообще говоря не зависит от конфигурации дна.

[lel0lel]

fred1996 в сообщении #1244941 писал(а):

Кстати, а вы считаете, что направления скоростей в любой точке равновероятны?
И как доказать, что шарики всегда доберутся до любой точки. Ведь для угла в 45 градусов это не так.

Это обеспечивается произвольным заданием начальных условий шариков. Грубо говоря, мы их запускаем из всевозможных точек. Для одного шарика, пусть даже имеющего иррациональность в начальных условиях, это не так. В этом случае, как мне кажется, нельзя также утверждать, что траектория этого шарика будет бесконечно близко подходить к любой наперёд заданной точке, тем более с любой стороны. Ваше утверждение

fred1996 в сообщении #1244931 писал(а):

существуют области, в которых нет никаких дыр в том плане, что для любой наперед заданной точки траектория в какой-то момент пройдет на каком угодно близком расстоянии от этой точки.

мне не кажется очевидным. Вы его сможете доказать?

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1244899 писал(а):

в детерминированных системах никаких вероятностей не бывает

В детерминированных системах, безусловно, "бывает вероятность", связанная со случайностью момента наблюдения состояния системы.

-- 04.09.2017, 09:06 --

lel0lel в сообщении #1244939 писал(а):

Пользуемся барометрической формулой

Не пойдёт. В этой задаче нет термостата. В распределении шариков по высоте экспонента невозможна по вполне очевидным причинам.

[lel0lel]

realeugene в сообщении #1244971 писал(а):

lel0lel в сообщении #1244939 писал(а):

Пользуемся барометрической формулой

Не пойдёт. В этой задаче нет термостата. В распределении шариков по высоте экспонента невозможна по вполне очевидным причинам.

Вы не полностью привели цитату:

lel0lel в сообщении #1244939 писал(а):

Пользуемся барометрической формулой (записанной для концентрации газа) для политропной атмосферы, т.е. с линейно меняющейся температурой $\theta(z)=2/3mg(h-z)$.

Высота политропной атмосферы конечна, Вы можете сами в этом убедиться, получив явную формулу. В показателе экспоненты будет $\ln{\theta(z)}$. Термостат здесь тоже не нужен, так как система изолированная (энергия наружу не утекает), а также нет теплообмена между слоями (мы требовали, чтобы молекулы не взаимодействовали, добавлю - и не излучали). В этом случае температура будет неизменной функцией высоты.

realeugene в сообщении #1244971 писал(а):

В детерминированных системах, безусловно, "бывает вероятность", связанная со случайностью момента наблюдения состояния системы.

В случае замкнутой фазовой кривой - да, в случае не периодического движения, пусть даже финитного, это сомнительно.

[realeugene]

lel0lel в сообщении #1244995 писал(а):

Высота политропной атмосферы конечна

Политропная неизотермическая атмосфера не является термодинамически равновесной системой. Устремив время к бесконечности мы получим непонятно что.

[lel0lel]

realeugene в сообщении #1245000 писал(а):

Политропная неизотермическая атмосфера не является термодинамически равновесной системой. Устремив время к бесконечности мы получим непонятно что.

Интересно земная тропосфера знает вообще об этом или ей наплевать? В общем случае Ваше утверждение неверно, а в рассматриваемой нами системе тем более.

[realeugene]

lel0lel в сообщении #1245005 писал(а):

Интересно земная тропосфера знает вообще об этом или ей наплевать?

Отключите Солнце и спросите после этого земную атмосферу, наплевать ей будет или нет.

[lel0lel]

realeugene в сообщении #1245008 писал(а):

Отключите Солнце и спросите после этого Земную атмосферу, наплевать ей будет или нет.

А изолированную систему для неё Вы будете делать? В общем, я предлагаю завершить бесполезный диалог, так как - "пусть всегда будет Солнце!".

[realeugene]

lel0lel в сообщении #1245012 писал(а):

А изолированную систему для неё Вы будете делать?

Нет, её будете делать вы, так как именно вы предложили рассматривать тропосферу в качестве модели для этой задачи. Неизотермическая изолированная атмосфера очевидно неравновесна. Иначе было бы тривиально сделать ВД2.

-- 04.09.2017, 12:52 --

В общем, рискну дать ответ, что плотность вероятности встретить шарик в окрестности каждой внутренней точки треугольника одинаковая.

[realeugene]

Проверочная задача. Шарик падает вертикально с высоты $h$ на твёрдую горизонтальную поверхность и упруго отскакивает обратно, таким образом, что движение шарика одномерное и без потери энергии. Найти как минимум двумя различными способами плотность вероятности обнаружить шарик на высоте $y$ в случайный момент времени.