Дифференцируемость суммы ряда

[Sherpa]

значит, фактически, решение подобного рода задачи выполняется так:
1) найти область
2) посмотреть сходимость данного ряда
3) посмотреть сходимость ряда производных
4) если ряды равномерно сходятся, то всё хорошо и можно дифференцировать

так?

[ewert]

наверное, так, но один важный логический шаг пропущен. Сходимость на всей области равномерной (чаще всего) не будет -- надо отойти от границ на хоть какое-нибудь маленькое расстояние. В этой суженной области можно уже надеяться на равномерность и, следовательно, на почленную дифференцируемость. А поскольку сужение сколь угодно мало, почленная дифференцируемость распространяется на всю область сходимости (точнее, на её внутренность).

[Sherpa]

спасибо

[Echo-Off]

ewert писал(а):

ибо область несвязна

Хорошее высказывание

[AD]

Можно вопросик методический?

Цитата:

исследовать $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {1+x^n} }$ на дифференцируемость в области поточечной сходимости.

Здесь мы исследуем дифференцируемость суммы ряда или возможность почленно продифференцировать ряд? Это не одно и то же ведь в общем случае ...

Добавлено спустя 2 минуты 22 секунды:

Да, и еще.

ewert писал(а):

А поскольку сужение сколь угодно мало, почленная дифференцируемость распространяется на всю область сходимости (точнее, на её внутренность).

Наверное, тогда стоит проверить на одностороннюю дифференцируемость на концах?

Добавлено спустя 3 минуты 12 секунд:

Sherpa писал(а):

значит, фактически, решение подобного рода задачи выполняется так:
...
...
4) если ряды равномерно сходятся, то всё хорошо и можно дифференцировать

А если неравномерно? Это же не значит, что нельзя дифференцировать. То есть мы фактически решаем задачу "проверить достаточные условия известной теоремы о возможности почленного дифференцирования"? Причем задачи, где эти условия не выполняются, не предлагаются?

[ewert]

Ловля блох. Задача -- стандартная. В таких задачах 1) всегда подразумевается почленная дифференцируемость; 2) никогда не предлагается исследовать односторонние производные; 3) всегда ставятся такие условия, что достаточно использовать равномерный признак дифференцируемости и, более того -- стандартное достаточное условие равномерности.

[AD]

Понятно. То есть ответ "про пустое множество задач можно говорить все, что угодно".

Добавлено спустя 42 секунды:

Только не думаю, что это блохи. Это порождает заблуждения. Хотя бы первый вопрос.