Дифференцируемость суммы ряда

[Sherpa]

Здравствуйте!
Хотелось бы научиться решать задачи подобного рода:
исследовать \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {1+x^n} } на дифференцируемость в области поточечной сходимости.
Как я понимаю, то сначала нужно выяснить область поточечной сходимости. Это будет $\mathbb{R}$ / \{-1\}, если я не ошибаюсь.
Что делать потом: для меня загадка.

При перемещении в Чулан заголовок изменен на более информативный. / GAA

[Someone]

Ошибаетесь. Область поточечной сходимости другая.

А потом надо вспомнить теоремы о почленном дифференцировании функциональных рядов.

[Бодигрим]

Ошибаетесь. Например, при $|x|<1$ имеем $1/(1+x^n) \to 1$ и члены ряда не стремятся к 0, а значит сам ряд расходится. Какие вы знаете признаки сходимости рядов?

[Sherpa]

так.
поточечно ряд сходится если внизу у нас что-то большое, а следовательно,если там что-то большее единицы.
тогда получается, что $x > 1$
но неочень понятно, что делать с отрицательными

[Someone]

Sherpa писал(а):

но неочень понятно, что делать с отрицательными

Рассмотрите абсолютную сходимость.
А также не забудьте про точки $\pm 1$.

P.S. Знаки неравенств: $\ge \geq \geqslant \le \leq \leqslant$.

$\ge \geq \geqslant \le \leq \leqslant$

[Бодигрим]

Цитата:

поточечно ряд сходится если внизу у нас что-то большое, а следовательно,если там что-то большее единицы.

Повторяю вопрос: какие вы знаете признаки сходимости рядов? Например, у ряда

$$\sum_{k=1}^{\infty} {1\over n}$$

внизу "что-то большое", но он расходится.

[Sherpa]

Бодигрим, мне известны следующие признаки сходимости: Вейерштрасса, Коши, Лейбница, Дирихле, Абеля.

Someone, как я понимаю нужно посмотреть сходимость ряда $|f_n(x)|$ . Он будет сходиться при $x < -1$ и $x > 1$

[ewert]

Теперь надо установить равномерность сходимости исходного ряда и продифференцированного (для этого придётся сузить рассматриваемую область на сколь угодно малую величину).

[Sherpa]

а что затем?

[ewert]

А затем -- вспомнить рекомендацию Someone, которая была в самом начале.

[Sherpa]

Значит, если у меня ряд производных равномерно сойдётся и производная непрерывна на найдённом множестве, то я могу дифференцировать, так?

[ewert]

Можете. Фактически достаточно только равномерной сходимости производных (тогда их сумма будет непрерывна автоматически, раз уж слагаемые непрерывны).

[Echo-Off]

ewert писал(а):

Фактически достаточно только равномерной сходимости производных

Надо ещё потребовать сходимости исходного ряда хотя бы в одной точке

[RIP]

Echo-Off писал(а):

ewert писал(а):

Фактически достаточно только равномерной сходимости производных

Надо ещё потребовать сходимости исходного ряда хотя бы в одной точке

на каждом промежутке.

[ewert]

Хотя бы в одной точке (пардон, в двух, ибо область несвязна!): в остальных он будет сходиться просто как ряд интегралов от производных.