Расчеты / рассуждения в уме

[grizzly]

VPro в сообщении #1236998 писал(а):

Может быть Вы потому и теряетесь в знаках, что не приучили себя держать в уме хотя бы несколько «ходов» как в шахматах?

Вы не следили за веткой, жаль. Я как раз говорил выше, что практически никогда не использую записи. И не раз сожалел об этом.

И, кстати, насчёт шахмат. Вы пробовали когда-нибудь играть в шахматы вслепую? Прокачать навык хотя бы до уровня второго разряда? А то ведь знаете, каждый пока не попробует потренироваться в этом, думает, что это намного проще и удобнее, чем с доской.

VPro в сообщении #1236998 писал(а):

Слишком вы категоричны.

Нет, это Вы слишком категоричны. От недостатка опыта, надо полагать.

[kotenok gav]

grizzly в сообщении #1236999 писал(а):

Вы пробовали когда-нибудь играть в шахматы вслепую? Прокачать навык хотя бы до уровня второго разряда? А то ведь знаете, каждый пока не попробует потренироваться в этом, думает, что это намного проще и удобнее, чем с доской.

А я даже доску 8х8 без фигур вообразить не могу.

[Sender]

grizzly в сообщении #1236888 писал(а):

Всегда всё решаю в уме. В некоторых случаях использую рисунки (пространственное воображение отстаёт от формульного).

Ага, так вот откуда эти зубодробительные способности к гиперпространственному воображению, продемонстрированные в теме с задачей Эрдёша.

[VPro]

Sinoid в сообщении #1236912 писал(а):

Конечно, не хочу никого обидеть, но... Мне учительница рассказывала. Слушала она отрывок из школьного урока алгебры в школе для детей с нарушениями зрения. Еще в советское время. Слушала и на бумаге проверяла. Так, говорит, было столько ошибок. А вот, например, ребенок ослеп в раннем детстве или вообще родился слепой. Я не представляю, как его научить стереометрии.

VPro в сообщении #1236890 писал(а):

Дело в том, что Владимир Иванович в юности ослеп в результате несчастного случая

Эйлер тоже под окончание жизни ослеп, перед этим он всю жизнь накапливал навыки, но и то все промежуточные выкладки делали за него ученики. Понтрягин то же, увы (разумеется, к счастью), некоторую часть жизни видел, т.е. имел представление о пространстве. Нет, я нисколько не умоляю их заслуги, я ими восхищаюсь. Я лишь хочу сказать, что предсказуемо нет ни одного видного математика, слепого от рождения. Или я не прав?

Безусловно, Вы правы. Слепота от рождения существенно снижает "размерность" мира образов, которым оперирует человек. Потому я тоже не припомню великих математиков, слепых от рождения.
Мой пример говорит о другом: люди потерявшие зрение уже в достаточно зрелом возрасте были вынуждены перейти на выкладки в уме, тренировать этот навык и в результате преуспели. Что доказывает как возможность строгого оперирования в уме сложными математическими понятиями (это к вопросу TC), так и эффективность этого образа действий.

[arseniiv]

VPro в сообщении #1237002 писал(а):

так и эффективность этого образа действий

Во-первых, примеры пересчитываются по пальцам, и о средней ситуации по ним судить неосторожно. Во-вторых, не было возможности наблюдать за ровно таким же человеком, но сохранившим зрение. Нельзя сказать, что результатов было бы не больше. Представьте, в конце концов, гипотетического человека, который и в уме многое может сделать, и имеет доступ к носителю, на котором существование записей в неизменном виде не требует совершенно никакой концентрации — ему должно быть ещё лучше, чем тем, у кого плохо с чем-то из этих двух. А теперь минимизируем умственные усилия и получаем, что только в самом крайнем случае ему понадобится на полную катушку пользоваться и тем, и тем, а обычно ему будет смысл предпочесть записи.

[Xaositect]

Sinoid в сообщении #1236912 писал(а):

Эйлер тоже под окончание жизни ослеп, перед этим он всю жизнь накапливал навыки, но и то все промежуточные выкладки делали за него ученики.

Иоганн Бернулли (третий) про Эйлера писал, что он не мог различать лица и читать книги, но мог писать мелом на доске.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Беседы на околонаучные темы»
Причина переноса: тематика.

[Anton_Peplov]

VPro в сообщении #1236998 писал(а):

А что, если дилемма выглядит так: пешком или на костылях оттого, что с детства ноги не использовал и они атрофировались.

И это меня здесь обвиняют в излишней категоричности?

VPro в сообщении #1236998 писал(а):

Может быть Вы потому и теряетесь в знаках, что не приучили себя держать в уме хотя бы несколько «ходов» как в шахматах?

Я путаюсь (иногда) в знаках, потому что давно не практиковался в преобразованиях формул. В пору моей учебы я делал такие выкладки регулярно и легко прыгал в уме "через несколько ступенек". Но эти годы давно прошли. Сейчас я изучаю математику в свободное от работы время и для собственного удовольствия. Преобразовывать формулы мне при этом почти не приходится, так как в интересных мне ее разделах (скажем, в общей топологии) такой работы минимум. Не сомневаюсь, что, если мне снова потребуется делать много преобразований (скажем, я плотно примусь за физику или там за дифференциальные уравнения), навык "перепрыгивать через ступеньки" в уме, не теряя при этом знаков, через некоторое время вернется. Навыки всегда дело практики.

В целом, убеждать Вас в чем бы то ни было мне совершенно не интересно. Вы просили мнений и личного опыта, я рассказал. Что Вы собираетесь с этим делать дальше - Ваше дело.

[Xaositect]

Я на младших курсах регулярно тренировал вычисления в уме (например, мог считать $e^2$ до трех знаков после запятой с помощью ряда). На линейной алгебре вышла забавная история - при демонстрации эффективности алгоритма Гаусса я посчитал определитель $4\times 4$ суммированием перестановок быстрее, чем другой студент методом Гаусса (там было на доске, а не чисто в уме, но навыки безусловно помогают).

По опыту, это не настолько полезный навык, как мне тогда казалось :)

[alcoholist]

вот вчера мне было не заснуть и вспомнил я задачу про колонну из 10 человек попарно различного роста, на которую смотрят с торца. Понятно, что количество наблюдаемых человек -- случайная величина $X$, принимающая значения от 1 до 10. Требовалось найти матожидание этой величины. Я условие помнил, но никогда не задумывался о решении.
Совсем не спалось -- нашел. И понял, что можно не проверять, уж больно красивый ответ (разумеется, считал матожидание $M[X_n]$ для случайной величины $X_n$ -- количество наблюдаемых с торца колонны из $n$ человек).
Потом и дисперсию посчитал. В оффтопике их привожу, если интересно.
Вот вопрос: а не из какой-нибудь это высокой науки вроде комбинаторики диаграмм Юнга, разупорядочении перестановок и.т.д.?

(Оффтоп)

$$M[X_n]=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}, \quad D[X_n]=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\frac{1}{k^2}$$

[kotenok gav]

alcoholist в сообщении #1239776 писал(а):

задачу про колонну из 10 человек попарно различного роста, на которую смотрят с торца

А что это за задача?

[Munin]

Вот она здесь полностью и описана. Есть $n$ человек разного роста, они стоят в колонну, на неё мы смотрим с торца. Один человек считается видимым, если его рост выше роста всех, кто оказался перед ним (всё кроме роста игнорируем). Сколько всего видно человек (в среднем), если расстановка случайна?

alcoholist
Интересно, что мне интуиция подсказывает два ответа: $n/2$ и $\sqrt{n}$ - и дальше не может между ними выбрать. Надо всё-таки считать.

[realeugene]

Munin в сообщении #1239889 писал(а):

Интересно, что мне интуиция подсказывает два ответа: $n/2$ и $\sqrt{n}$ - и дальше не может между ними выбрать. Надо всё-таки считать.

Мне моя интуиция подсказывает, что вероятность того, что, добавив ещё одного нормально распределённого по росту человека в конец существующей очереди, мы его там увидим, должна на каждом шаге спадать экспоненциально. Значит, и видимое число человек в очереди должно возрастать не быстрее, чем логарифмически. Подсчитать, конечно, не сложно, но сначала подождём других интуитов.

[Red_Herring]

Я достаточно хорошо проделываю выкладки в уме, что помогает иногда (например, идешь или едешь куда-нибудь, и думаешь о задаче), так что это навык полезный, но пока выкладки полностью не записаны--я не считаю их сделанными; то же относится и к доказательству.

Что касается вычислений (не путать с выкладками), то я тоже неплохо проделываю в уме и объясняю студентам, что это очень полезный навык. Дело в том, что у большинства студентов ручки кривые и вводят числа с ошибками, и грубые оценки в уме помогают контролировать. Впрочем, сейчас есть калькуляторы, в которые можно вводить вычисления натурально: (12 +5) ^3 *7 -14/6 (ну хотя бы в гугл) и их контролировать легче, чем традиционные

[realeugene]

(ответ)

Моя интуиция меня подвела в том, что вероятность плюс одного спадает не экспоненциально, а как $1/n$. Но гармонический ряд всё же растёт асимптотически как логарифм.