Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме

[Anton_Peplov]

Это мне пока рано. Я еще не брался за многообразия.

[svv]

Anton_Peplov в сообщении #1236677 писал(а):

Отображение $X \to Y$ называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки $x \in X$ найдется такая окрестность $U$, что:

1. $f(U)$ открыто в $Y$.
2. Сокращение $f_{|U,f(U)}$ -- гомеоморфизм.

Можете ли Вы найти ошибку в моём рассуждении?
Пусть у точки $x$ нашлась такая окрестность $U$, что выполняется свойство 2: $f_{|U,f(U)}$ — гомеоморфизм. Рассмотрим отображение $f^{-1}: f(U)\to U$. Оно непрерывно, следовательно, прообраз любого открытого множества открыт. Множество $U$ открыто как окрестность $x$, значит, его прообраз относительно отображения $f^{-1}$, то есть $f(U)$ — также открытое множество.
Тем самым требование 1 в определении оказывается излишним.

[Anton_Peplov]

svv в сообщении #1237978 писал(а):

Можете ли Вы найти ошибку в моём рассуждении?

Да.
Рассмотренное Вами отображение $f^{-1}_{|f(U), U}$ действует из подпространства $f(U)$ с индуцированной из $Y$ топологией в подпространство $U$ с индуцированной из $X$ топологией. Нельзя смешивать открытость множества в подпространстве с его открытостью в исходном пространстве, что Вы в своем рассуждении делаете два раза.
Тот факт, что $U$ открыто в топологии $X$, не имеет значения для функции $f^{-1}_{|f(U), U}$, т.к. она действует в подпространство $U$ со своей собственной топологией. Из того, что эта функция непрерывна, следует только, что прообраз множества, открытого в топологии $U$, открыт в топологии $f(U)$. Да, $U$ открыто в своей собственной топологии, просто по определению топологического пространства. И, пользуясь Вашими дальнейшими рассуждениями, можно доказать, что и $f(U)$ открыто в своей собственной топологии. Правда, нет никакого смысла это доказывать, ибо это так, опять же, просто по определению топологического пространства. Но из этого никак не следует, что $f(U)$ открыто и в топологии $Y$.

[svv]

Спасибо.

[kp9r4d]

Может это и так вам очевидно, но на всякий случай скажу, что два самых естественных примера (и, кажется, единственных естественных) локальных гомеоморфимзмов - это накрытия и погружения. Даже если вы ещё не знаете что это, то на картинки в гугле посмотреть всё-таки имеет смысл.

-- 03.08.2017, 14:33 --

(Универсальное накрытие $S^1$ с тотальным пространством $\mathbb{R}$)

https://i.stack.imgur.com/Cf04x.png

(Ориентирующее двулистное накрытие ленты мёбиуса с тотальным пространством цилиндр (видео))

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/0/0f/Orientation_cover_of_Mobius_strip.webm/Orientation_cover_of_Mobius_strip.webm.480p.webm

(Погружение интервала в сферу)

https://ncatlab.org/nlab/files/Immersion.png

(Погружение бутылки клейна в $\mathbb{R}^3$)

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Klein_bottle.svg/240px-Klein_bottle.svg.png

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1237958 писал(а):

Это мне пока рано. Я еще не брался за многообразия.

Сформулирую так: компактное пространство нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb R^n$ (более обще -- в связное хаусдорфово некомпактное пространство)

[Anton_Peplov]

Padawan в сообщении #1238563 писал(а):

компактное пространство нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb R^n$

Для $\mathbb R$ это доказывается дословно так же, как и в случае окружности: непрерывная функция из компактного пространства в $\mathbb R$ достигает своих точных граней. Для $\mathbb R^n$ - не знаю.

[demolishka]

Простите, что влезаю в тему

Padawan в сообщении #1237919 писал(а):

компактное $n$-мерное многообразие (с краем или без) нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb R^n$.

Особенно нельзя это сделать для отрезка или графика гладкой функции:-)

Все-таки $S^1$ нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb{R}$ не из-за компактности, а из-за того что окружность в принципе не вкладывается в прямую.

[Padawan]

demolishka в сообщении #1238633 писал(а):

Особенно нельзя это сделать для отрезка или графика гладкой функции:-)

Нельзя. Прочитайте еще раз определение локального гомеоморфизма.

Anton_Peplov в сообщении #1236677 писал(а):

Отображение $X \to Y$ называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки $x \in X$ найдется такая окрестность $U$, что:

1. $f(U)$ открыто в $Y$.
2. Сокращение $f_{|U,f(U)}$ -- гомеоморфизм.

Для концевой точки отрезка эти условия будут нарушены.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1238570 писал(а):

Для $\mathbb R$ это доказывается дословно так же, как и в случае окружности: непрерывная функция из компактного пространства в $\mathbb R$ достигает своих точных граней. Для $\mathbb R^n$ - не знаю.

(спойлер)

Образ компакта -- компакт. Рассмотрим любую точку $x\in X$, такую что $f(x)\in \partial f(X)$. В этой точке нарушактся Свойство 1, поскольку никакое множество вида $f(U)$ не может содержать никакой окрестности точки $f(x)\in \mathbb R^n$.

[george66]

Кто читал мой учебник теории категорий, тот поймёт совсем простой пример пучков и локальных гомеоморфизмов. Берём упорядоченное множество $\mathsf{K}$, рассматриваем его как категорию. Можно превратить его в топологическое пространство, взяв в качестве открытых множеств коидеалы (множества моментов времени, содержащие вместе с каждым моментом все лежащие выше). Тогда функторы $F\colon\mathsf{K}\to\mathsf{Set}$ (множества, меняющиеся со временем) будут в точности пучками над топологическим пространством $\mathsf{K}$. Каждый такой функтор $F$ тоже можно рассматривать как топологическое пространство, в качестве открытых множеств берутся теоретико-категорные подобъекты (они тоже растут кверху, вместе с каждым ростком содержат всё, что из него получается со временем). Естественные преобразования функторов друг в друга будут локальными гомеоморфизмами.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Пример хороший, обобщается до пучков на любом топ. пространстве (и даже сайте), порядок ни к чему, как я понимаю. Это, в сущности, то же накрытие, только в чуть большей общности. Олсо:

george66 в сообщении #1238690 писал(а):

$F\colon\mathsf{K}\to\mathsf{Set}$

разве не из $\mathsf{K}^{op}$?
UPD: а, так это не обобщение накрытий, а ровно накрытия и есть, вот прям в точности определение накрытия.

[george66]

Это весьма специальный случай топологических пространств (пересечение любого семейства открытых множеств открыто, топология вырождается в порядок). Возьмите шкалу из двух объектов и одной стрелки, это будет пространство под названием "связное двоеточие".

[kp9r4d]

Взял. А вы возьмите шкалу из одного объекта и с одной тождественной стрелкой, это будет пространство под названием "синглтон". Вместе подержим.

Не обижайтесь, просто не понял к чему вы :з

-- 06.08.2017, 19:08 --

А, действительно "op" не нужен, если стартуем с линейного порядка, а не с чупа включений открытых множеств.

[george66]

На любом топологическом пространстве можно определить порядок между точками (порядок Александрова): $x\leqslant y$ если любое открытое множество, содержащее $x$, содержит также $y$. Для хаусдорфовых пространств этот порядок вырождается в равенство. Наоборот, любое упорядоченное множество можно превратить в топологическое пространство, взяв в качестве открытых множеств коидеалы. Получится пространство с весьма специальным свойством: пересечение любого семейства открытых множеств открыто. Так вот, пучки над такими пространствами можно описать проще, чем в общем случае, а именно как функторы из $\mathsf{K}$ в $\mathsf{Set}$, если упорядоченное множество $\mathsf{K}$ воспринимать как категорию. Это не имеет отношения к общему определению пучка, это самостоятельная конструкция.