Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы о локальном гомеоморфизме. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Где о нем почитать?

Действительно, где? Энгелькинг и Виро и К дают определение, но не упоминают никаких свойств. В предметных указателях остальных моих учебников общей топологии (Александров, Келли, Куратовский) он даже не упоминается. Для контроля заглянул в два учебника по алгебраической топологии (Спеньер, Дольд) - та же картина. В рувики статьи нет. В статье в англовики ссылка на единственный учебник, естественно, англоязычный. По-английски я тоже могу, но это труднее и дольше, а у меня и так с трудом получается выкраивать время на математику. Так что не теряю надежды найти русскоязычный учебник, где доказывалось бы хотя бы следующее (что-то, я, конечно, легко докажу сам, но вряд ли все нижеперечисленное):

англовики писал(а):

Every local homeomorphism is a continuous and open map. A bijective local homeomorphism is therefore a homeomorphism.
A local homeomorphism $f : X \to Y$ preserves "local" topological properties:
$X$ is locally connected if and only if $f(X)$ is
$X$ is locally path-connected if and only if $f(X)$ is
$X$ is locally compact if and only if $f(X)$ is
$X$ is first-countable if and only if $f(X)$ is

Ну а если русскоязычных учебников нет - накидайте хотя бы англоязычных.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1236415 писал(а):

что-то, я, конечно, легко докажу сам, но вряд ли все нижеперечисленное

Ну и давайте начинайте. Прямо с определений и доказательства того, что докажете. У меня есть подозрение, что как раз всё и докажете.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1236416 писал(а):

Ну и давайте начинайте.

"Все приходится делать самому" (с) Зорг.

Итак, докажем, что локальный гомеоморфизм -- открытое отображение. Доказывать будем моим любимым способом -- разбиением на множество элементарных лемм, которые могут потом пригодиться еще где-то. Доказательства лемм сюда копировать не буду, они очевидны.

Отображение $X \to Y$ называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки $x \in X$ найдется такая окрестность $U$, что:

1. $f(U)$ открыто в $Y$.
2. Сокращение $f_{|U,f(U)}$ -- гомеоморфизм.

Саму эту окрестность для краткости назовем канонической окрестностью точки $x$ по отображению $f$.

Напомним, что слова "существует сколь угодно малая окрестность точки $p$ такая, что…" означают "для любой окрестности $V$ точки $p$ найдется окрестность $U \subset V$ точки $p$, такая, что…".

(Подробно о сколь угодно малых окрестностях)

В метрическом пространстве "существует сколь угодно малая окрестность точки $p$ такая, что…" в точности записывается как "для любого $\varepsilon >0$ найдется окрестность точки $p$ радиусом не больше $\varepsilon$, такая, что…". Это более широкое условие, чем "любая окрестность точки $p$ такова, что…", и более узкое, чем "существует окрестность точки $p$ такая, что…". Здесь радиус окрестности -- $\sup$ расстояния между точкой $p$ и другими точками окрестности, и окрестность -- не обязательно шар.

Остается вопрос, как перевести это метрическое заклинание на язык общей топологии. Для этого заметим, что в метрическом пространстве условие "для любого $\varepsilon >0$ найдется окрестность точки $p$ радиусом не больше $\varepsilon$, такая, что…" \textbf{в точности} эквивалентно условию "для любой окрестности $V$ точки $p$ найдется окрестность $U \subset V$ точки $p$, такая, что…". Действительно, пусть для любого $\varepsilon >0$ найдется окрестность точки $p$ радиусом не больше $\varepsilon$, такая, что…. Рассмотрим произвольную окрестность $V$. Внутри нее есть открытый шар. Обозначим его радиус $\varepsilon$. По условию, внутри него найдется окрестность $U$ точки $p$ радиусом не больше $\varepsilon$, такая, что…, и, очевидно, $U \subset V$. Обратно, пусть для любой окрестности $V$ точки $p$ найдется окрестность $U \subset V$ точки $p$, такая, что… Каждое $\varepsilon>0$ порождает открытый шар $B(p, \varepsilon)$. Даже в пространстве, где расстояние между любыми двумя различными точками равно $1$, есть шар $B(p, 100)$ -- он только совпадает со многими другими шарами, что ему не запрещается. Этот открытый шар является окрестностью точки $p$. Обозначим ее $V$. По условию, найдется окрестность $U \subset V$ точки $p$, такая, что… У этой окрестности, очевидно, есть радиус не больше $\varepsilon$, раз уж она внутри $V$ радиусом $\varepsilon$.

Заметим теперь, что в заклинании "для любой окрестности $V$ точки $p$ найдется окрестность $U \subset V$ точки $p$, такая, что…" нет ни слова о метрике, что позволяет сформулировать его для произвольных топологических пространств.

Лемма 1. (индукция по малым окрестностям).
Если у каждой точки $x$ есть сколь угодно малая окрестность, обладающая свойством $\varphi$, и свойство $\varphi$ сохраняется при объединении окрестностей, то всякое непустое открытое множество обладает свойством $\varphi$.

Лемма 2. Если $f: X \to Y$ -- локальный гомеоморфизм, то у каждой точки $x \in X$ найдется сколь угодно малая каноническая окрестность.

Из применения леммы 1 к тому факту, что образ канонической окрестности открыт, и следует, что образ всякого открытого множества при локальном гомеоморфизме открыт.

[Someone]

Возражений нет.

[Anton_Peplov]

Тот факт, что локальный гомеоморфизм непрерывен, легко доказывается по определению непрерывности функции в точке. После этого тот факт, что биективный локальный гомеоморфизм есть гомеоморфизм, тоже легко доказывается - достаточно заметить, что если $U$ - каноническая окрестность точки $x$ для $f$, то $f(U)$ - каноническая окрестность точки $y = f(x)$ для $f^{-1}$.

А вот прежде чем перейти к доказательству того, что локальный гомеоморфизм сохраняет какие-то свойства пространства, я бы хотел доказать, что локальная гомеоморфность - отношение симметричное. Это сэкономит кучу времени: ведь отсюда следует, что, если локальный гомеоморфизм сохраняет какое-то свойство пространства, то он сохраняет и его отсутствие. Пожалуй, раз с литературой не заладилось, оформлю это как вопрос № 2.

Вопрос № 2. Симметричность локальной гомеоморфности.

Итак, требуется доказать, что если существует локальный гомеоморфизм $f: X \to Y$, то существует и локальный гомеоморфизм $g: Y \to X$. Просто взять обратную функцию к $f$ нельзя: как мы уже доказали, во всех случаях, когда гомеоморфизм собственно локальный, обратной функции нет. Тем не менее, нам придется лепить $g$ из $f$, потому что больше не из чего: мы ничего не знаем про пространства $X$ и $Y$. Про $f$ мы тоже ничего не знаем, кроме того, что это локальный гомеоморфизм. $f$ может быть или не быть инъекцией, быть или не быть сюръекцией.
Ну и как тут поступать? Что-то у меня совсем никаких идей.

[Xaositect]

Это неправда. Приклейте, например, к интервалу сбоку квадрат, ему будет некуда отображаться при обратном отображении.

[Anton_Peplov]

Xaositect в сообщении #1236822 писал(а):

Это неправда.

То есть локальная гомеоморфность - не отношение эквивалентности? Ну, дела...

-- 30.07.2017, 15:56 --

Xaositect в сообщении #1236822 писал(а):

Приклейте, например, к интервалу сбоку квадрат, ему будет некуда отображаться при обратном отображении.

Так, тут можно чуть-чуть подробнее? Какое пространство у нас за $X$, какое за $Y$? А то я запутался, к чему мы квадрат приклеиваем.

[Anton_Peplov]

Так. Кажется, я понял, что имелось в виду. Пусть $X$ - интервал на плоскости, $Y$ - тот же интервал, но с приклеенным сбоку квадратом. Элементарно строится локальный гомеоморфизм $f: X \to Y$ - это просто тождественное отображение $X$ на $X$. В то же время локальный гомеоморфизм $g: Y \to X$ построить нельзя, т.к. локальный гомеоморфизм сохраняет размерность в точке. Контрпример строится на том, что локальный гомеоморфизм не обязан быть сюръекцией. Все правильно?

А если дополнительно потребовать, что он сюръективен - найдется контрпример?

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1237597 писал(а):

А если дополнительно потребовать, что он сюръективен - найдется контрпример?

$S^1$ нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb R^1$

[Anton_Peplov]

Ну да, выделим на окружности одну точку $M$. Для каждого $x \in \mathbb R$ мы можем пойти от точки $M$ вдоль окружности по часовой стрелке, если $x > 0$, и против часовой стрелки, если $x < 0$, и остановиться, когда пройденный путь окажется равен $|x|$ (делаем столько оборотов, сколько потребуется). При этом мы придем в некоторую точку $y = f(x)$. Такая функция $f: \mathbb {R} \to S^1}$, видимо, является локальным гомеоморфизмом (открытая дуга гомеоморфна открытому отрезку на плоскости, а тот - интервалу в $\mathbb R$). А вот почему

Padawan в сообщении #1237689 писал(а):

$S^1$ нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb R^1$

? Какое свойство, сохраняемое локальным гомеоморфизмом, есть у $S^1$, но отсутствует у $\mathbb {R}$?

[Padawan]

Насчёт свойства не знаю (ну, $S^1$ на $\mathbb R^1$ вообще непрерывно нельзя отобразить из-за компактности). Но если $g\colon S^1\to\mathbb R^1$ -- непрерывное отображение, и точка $y_0\in S^1$ такова, что $g(y_0)=\max\limits_{y\in S^1}{g(y)}$, то у точки $y_0$ не может существовать окрестность, биективно отображающаяся на окрестность $g(y_0)$.

[Anton_Peplov]

Padawan в сообщении #1237699 писал(а):

если $g\colon S^1\to\mathbb R^1$ -- непрерывное отображение, и точка $y_0\in S^1$ такова, что $g(y_0)=\max\limits_{y\in S^1}{g(y)}$, то у точки $y_0$ не может существовать окрестность, биективно отображающаяся на окрестность $g(y_0)$.

Поскольку непрерывная инъекция, определенная на промежутке в $\mathbb R$, строго монотонна.

[Padawan]

Просто в окрестности $g(y_0)$ есть точки $x>g(y_0)$, значит, эти точки не принадлежат образу $g(S^1)$.

[Anton_Peplov]

А, ну да, все проще. Спасибо.

[Padawan]

Предлагаю доказать такое обобщение: компактное $n$-мерное многообразие (с краем или без) нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb R^n$.