Вопрос по теории обобщенных функций

[Малкин Станислав]

RIP
Если я правильно понимаю, то имеем дальше вот:


$(-1)^n\left(\delta_0, (\alpha\varphi)^{(n)}\right)=(-1)^n(\delta_0,\psi)=(-1)^n\psi(0) = (-1)^n(\alpha\varphi)^{(n)}(0) = \sum\limits_{k=1}^n(-1)^kC_n^k\alpha^{(k)}(0)\varphi^{(n-k)}(0)$

Дальше мне остается крутить правую часть исходного равенства и показать, что то, что я нашел выше - в точности оно самое? Если да, то тогда я понял, где от меня прятался астрал, я пытался правую часть исходного равенства просто приравнять к (\delta_0, \varphi) и почему-то был уверен, что я правильно делаю, вот глупец

[RIP]

Почти всё так. Только маленькая очепятка (?) вкралась в последнее выражение ($(-1)^k$ вместо $(-1)^n$), и я по-прежнему настаиваю на том, что суммирование должно быть от 0 до n. Кроме того, я рекомендую поменять порядки производных у $\alpha$ и $\varphi$, чтобы было проще сравнивать.

[Малкин Станислав]

RIP писал(а):

Почти всё так. Только маленькая очепятка (?) вкралась в последнее выражение ($(-1)^k$ вместо $(-1)^n$), и я по-прежнему настаиваю на том, что суммирование должно быть от 0 до n. Кроме того, я рекомендую поменять порядки производных у $\alpha$ и $\varphi$, чтобы было проще сравнивать.

А почему мы можем менять порядки производных у $\alpha$ и $\varphi$? У меня как раз в результате проверки именно эти значения и расходятся - в ответе $\alpha^{(k)}(0)$ а у меня в результате "наших" рассуждений получилось $\alpha^{(n-k)}(0)$ и соответственно $\varphi^{(n-k)}(0)$ вместо $\varphi^{(k)}(0)$. Или это я где-то ошибся?

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

RIP писал(а):

Почти всё так. Только маленькая очепятка (?) вкралась в последнее выражение ($(-1)^k$ вместо $(-1)^n$)

Наверное Вы смотрели еще до того, как я исправил, сейчас же все правильно, надеюсь?

[RIP]

Малкин Станислав писал(а):

А почему мы можем менять порядки производных у $\alpha$ и $\varphi$?

Например, потому что
$(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^kf^{(k)}g^{(n-k)}=(gf)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^kg^{(k)}f^{(n-k)}.$
Или потому, что $C_n^k=C_n^{n-k}$.

Добавлено спустя 3 минуты 17 секунд:

Малкин Станислав писал(а):

Наверное Вы смотрели еще до того, как я исправил, сейчас же все правильно, надеюсь?

Сейчас я вижу вот так

Малкин Станислав писал(а):

$...= \sum\limits_{k=1}^n(-1)^kC_n^k\alpha^{(k)}(0)\varphi^{(n-k)}(0)$

А должно быть
$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^nC_n^k\alpha^{(k)}(0)\varphi^{(n-k)}(0)$.
Как говорится, найдите 2 отличия.

[Малкин Станислав]

RIP писал(а):

Малкин Станислав писал(а):

А почему мы можем менять порядки производных у $\alpha$ и $\varphi$?

Например, потому что
$(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^kf^{(k)}g^{(n-k)}=(gf)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^kg^{(k)}f^{(n-k)}.$
Или потому, что $C_n^k=C_n^{n-k}$.

Ах да, дурная голова, верно! Спасибо большое

Добавлено спустя 5 минут 30 секунд:

RIP писал(а):

А должно быть
$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^nC_n^k\alpha^{(k)}(0)\varphi^{(n-k)}(0)$.
Как говорится, найдите 2 отличия.

Насчет степени н - да, ошибка, а не очепятка. А вот насчет того, что начиная с нуля - почему?

[RIP]

Малкин Станислав писал(а):

А вот насчет того, что начиная с нуля - почему?

Потому что формула такая. Возьмите $n=1$ (или $n=0$) и проверьте.

[Малкин Станислав]

Но ведь если мы положим, что n=0, то имеем:

\alpha \delta_0, следовательно формула Лейбница не применима, ведь нет диференциала. Или тут имеется ввиду, что \alpha \delta_0^{(0)} и уже исходя из этого по формуле считается?

[RIP]

Обычно (и наш случай — не исключение) под нулевой производной понимается сама функция. Т. е. $\delta_0^{(0)}$ — это просто $\delta_0$, и т. д. Формула Лейбница верна и при $n=0$ (она вырождается в $(fg)(0)=f(0)g(0)$).

[Малкин Станислав]

В процессе "сравнения" пришел к тому, что еще в ответе должно быть (-1)^{n-k} под знаком суммы вместо (-1)^{n+k}. Это тоже опечатка или я что-то начудил?

[RIP]

Малкин Станислав писал(а):

В процессе "сравнения" пришел к тому, что еще в ответе должно быть (-1)^{n-k} под знаком суммы вместо (-1)^{n+k}.

Просто $(-1)^{n-k}=(-1)^{n+k}$ (для целых n,k).

[Малкин Станислав]

RIP писал(а):

Малкин Станислав писал(а):

В процессе "сравнения" пришел к тому, что еще в ответе должно быть (-1)^{n-k} под знаком суммы вместо (-1)^{n+k}.

Просто $(-1)^{n-k}=(-1)^{n+k}$ (для целых n,k).

Это Вы все правильно говорите, но дело не в этом, а в том, что когда я записываю:

$(\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{n+k}C_n^k \alpha^{(n-k)}(0)\delta_0^{(k)}, \varphi)$ и далее пользуюсь линейностью и произведением на мультипликатор, а далее определением диференциала, то в слагаемых получаю еще один раз (-1)^k + то, что у нас уже есть (-1)^{(n+k)}, как известно в произведениях - степени складываются, в итоге получаем что-то по типу (-1)^{(n+m)}, где m - четное число, а хотели получить (-1)^n, чего не получили..вот в чем загвоздка у меня.

Добавлено спустя 6 минут 6 секунд:

А вот если бы в изначальном равенстве было (-1)^{n-k} тогда бы все чудесно получалось.

[RIP]

Ну дык если m чётно, то $(-1)^{n+m}=(-1)^n$, и всё получается.

[Малкин Станислав]

RIP писал(а):

Ну дык если m чётно, то $(-1)^{n+m}=(-1)^n$, и всё получается.

что-то я сегодня совсем...

Премного благодарен за помощь в решение этой и прошлой задачи!