Вопрос по теории обобщенных функций

[Малкин Станислав]

В теории обобщенных функций встречается такая функция, как:

$\rho \frac 1 x$, которая по определению есть :

f(x) = $ \left\{ \begin{array}{l} \frac 1 x , x \neq 0 ,\\ 0, x = 0, \end{array} \right. $

В моей задаче встретилась функция :

$\rho \frac 1 {x^3}$, которая по аналогии я предполагаю, что есть :

f(x) = $ \left\{ \begin{array}{l} \frac 1 {x^3} , x \neq 0 ,\\ 0, x = 0, \end{array} \right. $

Если это так (хотелось бы услышать от вас, так ли это или нет), то как найти сингулярную обобщенную функцию, порожденную этой функцией? При условии, что я знаю, как ищется сингулярная обобщенная функция, порожденная $\rho \frac 1 x$

Спасибо.

[AD]

Понимаете, функция не ищется. То, что символом $\rho \frac 1 x$ у вас обозначается главное значение некоторого интеграла - это не теорема, а определение.

[Малкин Станислав]

AD
Честно говоря ничего не понял из объяснения Можно подробнее хоть чуть-чуть?

[AD]

Ну а как вы доказываете, что функции $1/x$ соответствует обобщенная функция $\pho\frac1x$. Что значит "соответствует" вообще?

Это всё неправильные вопросы. Я так понимаю, вы не понимаете, что обобщенная функция не есть функция.

[Малкин Станислав]

AD писал(а):

Ну а как вы доказываете, что функции $1/x$ соответствует обобщенная функция $\pho\frac1x$. Что значит "соответствует" вообще?

Это всё неправильные вопросы. Я так понимаю, вы не понимаете, что обобщенная функция не есть функция.

Так, отложим вопрос, что был выше. Я не правильно понял вопрос задачи.

Но у меня возник следующий вопрос - как доказать, что указанная мною функция - сингулярна? Во всех учебниках фигурирует пример только для дельта-функции Дирака (может я конечно не все высмотрел, тыкайте мордочкой, если что), а по нему у меня не получается сделать аналогично для предложенной обобщенной функции.

[Малкин Станислав]

Нет вариантов? Хотя бы от чего плясать-то..

[RIP]

Можно посмотреть в этой теме.

[Малкин Станислав]

RIP писал(а):

Можно посмотреть в этой теме.

Да, очень похоже, пойду смотреть Спасибо

Добавлено спустя 5 минут 56 секунд:

Появился вопрос:

Gafield писал(а):

Пусть предсталяется. Поскольку $\phi\in \cal D(\mathbb R) \Rightarrow x\phi \in \cal D(\mathbb R) $, то $(f,x\phi)=(xf,\phi)$ для всех $\phi\in \cal D(\mathbb R)$. Следовательно, $xf=1$ п.в., $f=1/x$ п.в. - не явл. лок. интегрируемой.

Не понимаю, почему "следовательно". Из чего это видно и почему это следует из предидущего?

[RIP]

$(xf,\varphi)=(f,x\varphi)=\text{вспоминаем определение $f$}=\ldots=(1,\varphi).$
И это $\forall\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$.

[Малкин Станислав]

RIP писал(а):

$(xf,\varphi)=(f,x\varphi)=\text{вспоминаем определение $f$}=\ldots=(1,\varphi).$
И это $\forall\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$.

Под определением имеется ввиду, что $f(x) = \frac 1 x или само определение функции, что она является локально-интегрированной?

Если имеется ввиду первое, то мне не понятно, почему мы говорим, что $f(x) = \frac 1 x, ведь это наш изначальный функционал и мы как раз пытаемся показать, что f ему равен, что и будет противоречием и доказывать, что наш функционал - сингулярная обобщенная функция и не представим в виде $(f,\varphi)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\varphi(x)dx$

Или я не правильно рассуждаю?

[RIP]

Мы предполагаем существование такой $f\in L_{loc}(\mathbb R)$, что

$$\int_{\mathbb R}f(x)\varphi(x)\,dx=(f,\varphi)=(\mathrm{v.p.})\int_{\mathbb R}\frac{\varphi(x)}{x}\,dx.$$

Последнее равенство я подразумевал под определением $f$.

[Малкин Станислав]

Да, действительно. Теперь я все понял Спасибо за пояснение

Добавлено спустя 5 минут 55 секунд:

Таким образом для моего доказательства надо положить, что $\psi\in \mathcal D(\mathbb R) \Rightarrow {x^3} \psi \in \cal D(\mathbb R) $ и дальше от этого плясать..

$(x^3f,\varphi)=(f,x^3\varphi)$

Добавлено спустя 3 минуты 38 секунд:

хм, что-то не сходится..либо я опять чего-то не понимаю.

[RIP]

А что конкретно не сходится?

P.S. Используйте \mathcal вместо \cal.

[Малкин Станислав]

По условию моей задачи:

$(\rho \frac{1}{x^3},\varphi)=V.p.\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\varphi(x) - \varphi(0) - x\varphi'(0)}{x^3} dx$

Следовательно аналогично предоплагаем, что $x^3\varphi тоже пренадлежит пространству обобщенных функций и следовательно:

$(\rho \frac{1}{x^3},x^3\varphi)=V.p.\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{x^3(\varphi(x) - \varphi(0) - x\varphi'(0))}{x^3} dx = V.p.\int\limits_{-\infty}^\infty (\varphi(x) - \varphi(0) - x\varphi'(0)) dx $

Или я не так что-то понимаю?

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

RIP писал(а):

P.S. Используйте \mathcal вместо \cal.

Поправил, спасибо.

[RIP]

Чему равны $x^3\varphi(x)$ и $(x^3\varphi(x))'$ при $x=0$?