Вопрос по теории обобщенных функций

[Малкин Станислав]

RIP писал(а):

Чему равны $x^3\varphi(x)$ и $(x^3\varphi(x))'$ при $x=0$?

Нулю похоже, но что-то не совсем понимаю к чему это?

P.S.
А, понял. Но тогда не понятно, зачем их (нули) пишут в сам интеграл изначально? Меня это и сбило с толку.

P.S. Эх, опять протупил. Вопрос закрыт..

Добавлено спустя 1 час 52 минуты 10 секунд:

Еще одна задача появилась по обобщенным функциям.

Доказать, что

$\alpha\delta_0^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n(-1)^{n+k}C_n^k \alpha^{(n-k)}(0)\delta_0^{(k)}$

Из моих размышлений: очень похоже, что нужно воспользоваться формулой Лейбница для диференциирования произведения, но не получается. Может есть еще что-то, чего я не вижу?

[RIP]

Малкин Станислав писал(а):

очень похоже, что нужно воспользоваться формулой Лейбница

Очень похоже.

Малкин Станислав писал(а):

но не получается

Напишите сюда, что не получается. Тут ведь и надо всего лишь посчитать, чему равно $(\alpha\delta_0^{(n)},\varphi)$.

[AD]

RIP писал(а):

Малкин Станислав писал(а):

очень похоже, что нужно воспользоваться формулой Лейбница

Очень похоже.

Че-то я слышал, что она для обобщенных функций неверна

[Малкин Станислав]

Забыл указать, что $\alpha принадлежит пространству бесконечно-дифференциируемых функций.

[RIP]

Только там, видимо, очепятка — суммировать надо от 0 до n.

[Малкин Станислав]

RIP писал(а):

Малкин Станислав писал(а):

но не получается

Напишите сюда, что не получается. Тут ведь и надо всего лишь посчитать, чему равно $(\alpha\delta_0^{(n)},\varphi)$.

Мне не понятно, откуда возникает производная степени n-k по \alpha и почему она береться в нуле, ну и некоторые другие моменты.

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

RIP писал(а):

Только там, видимо, очепятка — суммировать надо от 0 до n.

Почему?

[RIP]

Начните потихоньку "расшифровывать" выражение $(\alpha\delta_0^{(n)},\varphi)$, там будет видно. Сначала воспользуйтесь определением произведения обобщённой функции на гладкую функцию, затем — определением n-й производной обобщённой функции...

[Малкин Станислав]

Хорошо, попробую, напишу, что получилось.

Добавлено спустя 13 минут 2 секунды:

RIP писал(а):

Начните потихоньку "расшифровывать" выражение $(\alpha\delta_0^{(n)},\varphi)$, там будет видно. Сначала воспользуйтесь определением произведения обобщённой функции на гладкую функцию, затем — определением n-й производной обобщённой функции...

Если я правильно понимаю, то $(\alpha\delta_0^{(n)},\varphi) = (-1)^n\left(\delta_0, (\alpha\varphi)^{(n)}\right)$

[RIP]

Правильно. Теперь вспоминаем, что такое $\delta_0$, и самое время вспомнить про формулу Лейбница.

[Малкин Станислав]

RIP писал(а):

Правильно. Теперь вспоминаем, что такое $\delta_0$

Дельта-функция Дирака, но как это использовать?

Добавлено спустя 24 минуты 53 секунды:

Похоже речь об этом:

(\delta_0, \varphi) = \varphi (0)

Верно?

[RIP]

Малкин Станислав писал(а):

Похоже речь об этом:

(\delta_0, \varphi) = \varphi (0)

Верно?

Верно. Я думал, что Вы уже давно всё решили.

[Малкин Станислав]

Если я правильно понял, что имеем:

$(\alpha\delta_0^{(n)},\varphi) = (-1)^n\left(\delta_0, (\alpha\varphi)^{(n)}\right) = (-1)^n (\alpha(0)\varphi(0))^{(n)} $

А вот что делать дальше - я не понимаю. В правой части доказываемого равенства же \varphi нет, зато есть \delta_0, которое у нас пропало и я в замешательстве, что дальше крутить.

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

RIP писал(а):

Верно. Я думал, что Вы уже давно всё решили.

Эх, если бы некоторые вещи были настоль очевидными для меня, как для Вас..тогда бы я наверное и вопросы тут не задавал бы идиотские временами

[RIP]

Малкин Станислав писал(а):

Если я правильно понял, что имеем:
$(\alpha\delta_0^{(n)},\varphi) = (-1)^n\left(\delta_0, (\alpha\varphi)^{(n)}\right) = (-1)^n (\alpha(0)\varphi(0))^{(n)} $

Ага, вот где собака зарыта. В последнем переходе ошибка. Обозначьте $\psi(x)=(\alpha\varphi)^{(n)}(x)$ и продолжите равенство
$(-1)^n\left(\delta_0, (\alpha\varphi)^{(n)}\right)=(-1)^n(\delta_0,\psi)=\ldots$

[Малкин Станислав]

RIP писал(а):

Малкин Станислав писал(а):

Если я правильно понял, что имеем:
$(\alpha\delta_0^{(n)},\varphi) = (-1)^n\left(\delta_0, (\alpha\varphi)^{(n)}\right) = (-1)^n (\alpha(0)\varphi(0))^{(n)} $

Ага, вот где собака зарыта. В последнем переходе ошибка. Обозначьте $\psi(x)=(\alpha\varphi)^{(n)}(x)$ и продолжите равенство
$(-1)^n\left(\delta_0, (\alpha\varphi)^{(n)}\right)=(-1)^n(\delta_0,\psi)=\ldots$

Что-то я все не попадаю в астрал:
$(-1)^n\left(\delta_0, (\alpha\varphi)^{(n)}\right)=(-1)^n(\delta_0,\psi)=(-1)^n\psi(0) = (-1)^n(\alpha\varphi)^{(n)}(0)$

Что это дает?

[RIP]

Малкин Станислав писал(а):

Что это дает?

Теперь вычисляем $(\alpha\varphi)^{(n)}(0)$ по формуле Лейбница. Останется сравнить то, что получится (по крайней мере должно получиться), с
$\left(\sum_{k=0}^n(-1)^{n+k}C_n^k\alpha^{(n-k)}(0)\delta_0^{(k)},\varphi\right).$