Фоновая метрика под горизонтом

[Erleker]

schekn в сообщении #1235292 писал(а):

Разложение (1a) (2a) эквивалентно (7a) (8a) , хоть и возможно только в области $r>r_g $. Но не эквивалентно тому, что вы предлагаете.

Конечно!
Потому что так, как вы - не надо делать.
Надо сразу брать СК, продолжающеюся за горизонт, и писать:
$g_{\mu\nu}= h_{\mu\nu}+\eta_{\mu\nu}$

schekn в сообщении #1235292 писал(а):

А по вашей схеме-разложению - не получите сингулярность. (чуть подробнее смогу в среду).

Вот именно, что не получу!
И не по моей схеме, а по Вайнбергу.

P.S.$t_{\mu\nu}$ не является общековариантным.

[schekn]

Erleker в сообщении #1235303 писал(а):

Вот именно, что не получу!
И не по моей схеме, а по Вайнбергу.

P.S.$t_{\mu\nu}$ не является общековариантным.

Начну с конца. Это и плохо, что $t_{\mu\nu}$ необщековариантный. В данном случае он меняется не потому , что мы перешли в другую систему координат (кроме оговоренных специально), а потому , что мы привязали к одной и той же фоновой метрике вакуумные решения, записанные в разных координатах. Распишу псевдотензор по Вайнбергу. Для нашего случая это выражение (7.6.3) ($c=1$), только в вакууме нет реального ТЭИ:

$$-8{\pi}Gt_{\mu\chi}=R^{(1)}_{\mu\chi}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\chi}R^{(1)}_{\lambda}^{\lambda}$$

Где $R^{(1)}_{\mu\chi}$- линейная часть тензора Риччи , только индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики Минковского (это (7.6.2) только я записал немного по-другому):

$$R^{(1)}_{\mu\chi}=\frac{1}{2}\eta^{\lambda\nu}(\frac{\partial^2h_{\lambda\nu}}{\partial{x^{\nu}}\partial{x^{\chi}}}-\frac{\partial^2h_{\mu\nu}}{\partial{x^{\lambda}}\partial{x^{\chi}}} - \frac{\partial^2h_{\nu\chi}}{\partial{x^{\lambda}}\partial{x^{\mu}}}+\frac{\partial^2h_{\mu\chi}}{\partial{x^{\nu}}\partial{x^{\lambda}}})$$

Далее на стр. 183 Вайнберг оговаривает, что индексы у нетензорных объектов: это $R^{(1)}_{\mu\chi}$, псевдотензор гравитационного поля и простые производные - ему удобней поднимать и опускать с помощью $\eta$, а у реальных $R_{\mu\chi}$ с помощью $g$.
Мне не очень понравилась эта фраза, я поставил галочку , что надо вернуться.

Далее понятно, что если я подставлю свое разбиение с гармоническим решением, то получу другой $t_{\mu\chi}$, чем когда вы с метрикой Пенлеве. (Я поторопился насчет сингулярности на горизонте в вашем разбиении, не проверил, но "псевдотензор" гравитационного поля будет другой и результаты , вычисленные с помощью него будут другие).

-- 27.07.2017, 12:37 --

Erleker в сообщении #1235303 писал(а):

Потому что так, как вы - не надо делать.
Надо сразу брать СК, продолжающеюся за горизонт, и писать:
$g_{\mu\nu}= h_{\mu\nu}+\eta_{\mu\nu}$

Теперь по этому замечанию.
Я считаю как раз, что "моё разбиение" правильней. Уже обосновывал почему. Основные эффекты в слабых полях (в Солнечной системе) как раз рассчитываются, исходя из гармонического решения, а фоновую метрику привязывают к удаленным "неподвижным" звездам.
Если повысить точность измерений на порядок, то наши с вами разногласия даже в слабых полях будут видны более отчетливо.

[schekn]

Erleker в сообщении #1234987 писал(а):

schekn

$$ds^2=(1-\frac{r_g}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})c^2d{\bar{t}}^2+\frac{\sqrt {r_g}}{(x^2+y^2+z^2)^{3/4}}(xdx+ydy+zdz)cd{\bar{t}}- dx^2-dy^2-dz^2 $$

На удалении имеем:

$$ds^2=c^2d{\bar{t}}^2- dx^2-dy^2-dz^2 $$

Как и требовалось.

Да, замечание по асимптотике. Второй член имеет асимптотику $g_{tr}=0(\frac{1}{\sqrt{r}})$. А требуется $h_{tr}=0(\frac{1}{r})$, как написано у Вайнберга на стр. 185. (7.6.16).
Значит интеграл разойдется $\int{\tau}^{0\nu}d^3x$.

[Geen]

schekn в сообщении #1236229 писал(а):

"псевдотензор" гравитационного поля будет другой и результаты , вычисленные с помощью него будут другие

Второе из первого, вообще говоря, не следует - какие именно результаты имеются ввиду?

[schekn]

Geen в сообщении #1236299 писал(а):

schekn в сообщении #1236229 писал(а):

"псевдотензор" гравитационного поля будет другой и результаты , вычисленные с помощью него будут другие

Второе из первого, вообще говоря, не следует - какие именно результаты имеются ввиду?

Там где применяется псевдтензор.

[schekn]

Erleker
Geen
Чтобы продемонстрировать, что зависит от вида разбиения на $h $ и $\eta$ и к чему это приводит, рассчитаю величину $P^{\nu}$ для двух случаев.
Первый: возьму метрику изотропную и фоновую Минковского. В данном случае можно взять, и гармоническое представление, и стандартное для метрики Шварцшильда, результат будет для $P^{\nu}$ тот же. Это написано и у Вайнберга и проверялось мной. Для изотропной считать проще - она диагональная.

$$ds^2=\frac{(1-\frac{r_g}{4r})^2}{(1+\frac{r_g}{4r})^2}c^2dt^2- (1+\frac{r_g}{4r})^4(dx^2+dy^2+dz^2)\quad (9a)$$

$$d{\sigma}^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \quad(10a)$$

Согласно (7.6.23) у Вайнберга мы имеем:

$$P^{0}=\frac{1}{16{\pi}G}\int{[\frac{\partial{h_{jj}}}{\partial{x^{i}}} - \frac{\partial{h_{ij}}}{\partial{x^{j}}}] n_{i}r^2d{\Omega}} \qquad n_i=x_i/r \qquad i,j=1,2,3$$

Знак здесь другой, поскольку у Вайнберга уравнения Эйнштейна с другим знаком, чем у ЛЛ-2.
Программка в Maxima дает следующий результат для подынтегрального выражения:

$$[\frac{\partial{h_{jj}}}{\partial{x^{i}}} - \frac{\partial{h_{ij}}}{\partial{x^{j}}}] n_{i}r^2 =\frac{2r_g(r+r_g/4)^3}{r^3} \quad(11a)$$

Интегрирование при $r\to{\infty}$ по сфере большого радиуса как раз дает: $P^{0}=M$ . Повторюсь, что для гармонической метрики будет тот же результат.

Этот результат в ЛЛ-2 интерпретируют как равенство инертной и гравитационной масс , а у Вайнберга написано, что должен быть переход в Ньютоновскую механику в слабых полях, что собственно и подтверждается.
Остальные компоненты равны нулю: $P^{i}=0$ .

Теперь возьмем ваше, Erleker, разбиение: Пенлеве+Минковский (Вы в Пенлеве забыли двойку).

$$ds^2=(1-\frac{r_g}{r})c^2d{\bar{t}}^2+2\sqrt{\frac{r_g}{r^3}}c d{\bar{t}}(xdx+ydy+zdz) - dx^2 - dy^2 - dz^2 \quad (12a)$$

$$d{\sigma}^2=d{\bar{t}}^2-dx^2-dy^2-dz^2 \quad(13a)$$

И мы получаем в точности ноль $P^{0}=0$ . То есть полная энергия системы - поле+вещество - дает нулевой результат. И как вы это будете интерпретировать? (Интересно, что получается у Сергея Губанова, это его любима метрика) .
Остальные компоненты по формуле Вайнберга (7.6.22) (метрика статическая, поэтому двух слагаемых нет):

$$P^j=\frac{1}{16{\pi}G}\int[{ \frac{\partial{h_{k0}}}{\partial{x^{k}}}\delta_{ij} - \frac{\partial{h_{j0}}}{\partial{x^{i}}} }]n_ir^2d{\Omega}}$$

Для компоненты $x$ ($j=1$)под интегралом получаем:

$$[{ \frac{\partial{h_{k0}}}{\partial{x^{k}}}\delta_{ij} - \frac{\partial{h_{j0}}}{\partial{x^{i}}} }]n_ir^2=\frac{2\sqrt{r_g}x}{\sqrt{r}}\quad(14a)$$

Хотя асимптотика плохая получаем и здесь интеграл нулевой.

Таким образом тут есть противоречие между полевой формулировкой ОТО и метрической.
А также есть нестыковки в разбиении на $h $ и $\eta$ внутри полевой формулировки для поля вдалеке от сосредоточенных масс и под горизонтом.

[schekn]

Жаль никто из тех, кто разбирается в теме не дал критических комментариев или пояснений. И Erleker куда-то пропал.
Поэтому сформулирую третью проблему. Не всякую классическую задачу ОТО можно решить в полевом формализме, хотя и Зельдович и Петров считают полевую формулировку эквивалентной метрической. Самое простое показать это без сложных вычислений, решив задачу Оппенгеймера-Снайдера в полевом формализме.
Грищук , скажем, предлагает решать задачи , добавив, такие 4 соотношения, которые он называет "калибровкой".

$$D_{\nu}(\sqrt{-g}g^{{\nu}{\mu}})=\frac{\partial{\sqrt{-g}g^{\nu\mu}}}{\partial{x^{\nu}}}+\gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\sqrt{-g}g^{\alpha\beta}=0 \quad(15 a)$$

Где $D_{\nu}$ - ковариантная производная по метрике Минковского. Но он не отрицает, что можно использовать другую "калибровку".
Если записать Минковского в галилеевых координатах, то (15a) сводится к гармоническим условиям с фоновой плоской метрикой, что чаще всего и используется для вычисления энергии гравитационной волн.
Но если рассматривать задачу Оппенгеймера Снайдера о коллапсе пылевого облака с конца, то есть взять именно данную калибровку , то получим два решения : в вакууме: $g_{\mu\nu}^{out}=h_{\mu\nu}^{out}+\eta_{\mu\nu}$ и внутри пыли: $g_{\mu\nu}^{in}=h_{\mu\nu}^{in}+\eta_{\mu\nu}$ при этом плоская фоновая метрика одна и та же. Два решения сшиваются на границе, как показано в учебниках. Но такую задачу можно решить только до того, как вещество ушло за горизонт. При этом энергия гравитационного поля становится аномально большой вблизи границы около горизонта как вне так и внутри вещества. В метрической стандартной формулировке эта трудность устраняется тем, что мы переходим к другим координатам , которые можно продлить под горизонт и все вещество сваливается в реальную сингулярность. А тут, если мы это сделаем в полевом случае , то получим разрыв на горизонте в плоской метрике.

[Munin]

schekn в сообщении #1239608 писал(а):

Жаль никто из тех, кто разбирается в теме не дал критических комментариев или пояснений.

А зачем?..

[schekn]

Munin в сообщении #1239620 писал(а):

А зачем?..

Либо согласиться, что такие трудности есть, либо найти ошибку.

[Munin]

Re [2]: А зачем?..

[schekn]

Ну интересно же разобраться. К тому же , если есть неоднозначность в теории, то это скверно. Ну нет так нет. Если соберусь с мыслями, то отправлю вопросы Петрову, хотя не уверен, что он мне разъяснит эти положения.

Добавлю, что если будет некая обобщающая теория гравитации, то она должна решить эти проблемы. При этом я уверен, что в слабых и среднесильных полях уравнения должны совпадать с уравнениями Гильберта-Эйнштейна.

[Munin]

schekn в сообщении #1239742 писал(а):

Ну интересно же разобраться.

Никому, кроме вас, не интересно. Вопросы банальны.

schekn в сообщении #1239608 писал(а):

Но такую задачу можно решить только до того, как вещество ушло за горизонт.

Однако решение до горизонта будет в точности совпадать с решением, полученным другими методами (без принятия указанной калибровки). Именно это и только это называется эквивалентностью полевой и метрической формулировки.

[schekn]

Munin в сообщении #1239765 писал(а):

Никому, кроме вас, не интересно. Вопросы банальны.

Ну судя по тому, что мало кто отреагировал, совсем не банальны. И если окажется, что от "калибровки" будет зависеть физический результат, это и покажет некорректность данного формализма.

-- 10.08.2017, 20:55 --

Munin в сообщении #1239765 писал(а):

Однако решение до горизонта будет в точности совпадать с решением, полученным другими методами (без принятия указанной калибровки). Именно это и только это называется эквивалентностью полевой и метрической формулировки.

Это также говорит о привилегированности данной калибровки.

[Pphantom]

schekn, кажется, Вы немного подзабыли вот это:

Pphantom в сообщении #1129546 писал(а):

По-видимому, предупредительный выстрел в воздух на ТС не подействовал. Думаю, что пора закругляться. Тема закрыта и остается в ПРР только из-за большого числа содержательных сообщений, в которых делались попытки объяснить ТС его ошибки.

schekn - создавать новые темы с аналогичной или близкой тематикой запрещаю. Как показывает опыт, это бесполезно.

.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»