ErlekerGeenЧтобы продемонстрировать, что зависит от вида разбиения на

и

и к чему это приводит, рассчитаю величину

для двух случаев.
Первый: возьму метрику изотропную и фоновую Минковского. В данном случае можно взять, и гармоническое представление, и стандартное для метрики Шварцшильда, результат будет для

тот же. Это написано и у Вайнберга и проверялось мной. Для изотропной считать проще - она диагональная.


Согласно (7.6.23) у Вайнберга мы имеем:
![$$P^{0}=\frac{1}{16{\pi}G}\int{[\frac{\partial{h_{jj}}}{\partial{x^{i}}} - \frac{\partial{h_{ij}}}{\partial{x^{j}}}] n_{i}r^2d{\Omega}} \qquad n_i=x_i/r \qquad i,j=1,2,3$$ $$P^{0}=\frac{1}{16{\pi}G}\int{[\frac{\partial{h_{jj}}}{\partial{x^{i}}} - \frac{\partial{h_{ij}}}{\partial{x^{j}}}] n_{i}r^2d{\Omega}} \qquad n_i=x_i/r \qquad i,j=1,2,3$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/8/908572f96679a9cc33d339b0c6ee054682.png)
Знак здесь другой, поскольку у Вайнберга уравнения Эйнштейна с другим знаком, чем у ЛЛ-2.
Программка в Maxima дает следующий результат для подынтегрального выражения:
![$$[\frac{\partial{h_{jj}}}{\partial{x^{i}}} - \frac{\partial{h_{ij}}}{\partial{x^{j}}}] n_{i}r^2 =\frac{2r_g(r+r_g/4)^3}{r^3} \quad(11a)$$ $$[\frac{\partial{h_{jj}}}{\partial{x^{i}}} - \frac{\partial{h_{ij}}}{\partial{x^{j}}}] n_{i}r^2 =\frac{2r_g(r+r_g/4)^3}{r^3} \quad(11a)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/b/71b2a0422ab41a504a3d29531aed774a82.png)
Интегрирование при

по сфере большого радиуса как раз дает:

. Повторюсь, что для гармонической метрики будет тот же результат.
Этот результат в ЛЛ-2 интерпретируют как равенство инертной и гравитационной масс , а у Вайнберга написано, что должен быть переход в Ньютоновскую механику в слабых полях, что собственно и подтверждается.
Остальные компоненты равны нулю:

.
Теперь возьмем ваше,
Erleker, разбиение: Пенлеве+Минковский (Вы в Пенлеве забыли двойку).


И мы получаем в точности ноль

. То есть полная энергия системы - поле+вещество - дает нулевой результат. И как вы это будете интерпретировать? (Интересно, что получается у
Сергея Губанова, это его любима метрика) .
Остальные компоненты по формуле Вайнберга (7.6.22) (метрика статическая, поэтому двух слагаемых нет):
![$$P^j=\frac{1}{16{\pi}G}\int[{ \frac{\partial{h_{k0}}}{\partial{x^{k}}}\delta_{ij} - \frac{\partial{h_{j0}}}{\partial{x^{i}}} }]n_ir^2d{\Omega}}$$ $$P^j=\frac{1}{16{\pi}G}\int[{ \frac{\partial{h_{k0}}}{\partial{x^{k}}}\delta_{ij} - \frac{\partial{h_{j0}}}{\partial{x^{i}}} }]n_ir^2d{\Omega}}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/4/5543e1b0a30c4085684394fe9d1e702482.png)
Для компоненты

(

)под интегралом получаем:
![$$[{ \frac{\partial{h_{k0}}}{\partial{x^{k}}}\delta_{ij} - \frac{\partial{h_{j0}}}{\partial{x^{i}}} }]n_ir^2=\frac{2\sqrt{r_g}x}{\sqrt{r}}\quad(14a)$$ $$[{ \frac{\partial{h_{k0}}}{\partial{x^{k}}}\delta_{ij} - \frac{\partial{h_{j0}}}{\partial{x^{i}}} }]n_ir^2=\frac{2\sqrt{r_g}x}{\sqrt{r}}\quad(14a)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/c/e8c672498be30ca604fa5643c180947382.png)
Хотя асимптотика плохая получаем и здесь интеграл нулевой.
Таким образом тут есть противоречие между полевой формулировкой ОТО и метрической.
А также есть нестыковки в разбиении на

и

внутри полевой формулировки для поля вдалеке от сосредоточенных масс и под горизонтом.