Вероятность вернуться домой за n шагов (случайное блуждание)

[svv]

Всё правильно. Идём дальше. Подсказка: $m_1$ определяется исключительно остатком от деления $n$ на три.

Aether в сообщении #1236124 писал(а):

И что там с минусами для $p$ не подскажите?

$p$ будет иметь для нас всё меньшее значение, и скоро мы от этой переменной совсем избавимся. Причина: оно не входит в формулу $\frac{(m+1)(m+2)}{2}$ для числа композиций.

[Aether]

x(n)=$\sum_{i=1}^k\frac{({n}-3(n\operatorname{div}3)+3(i-1)+1)({n}-3(n\operatorname{div}3)+3(i-1)+2)}{2}$, где $k=\lfloor{\frac{n+2}{2}}\rfloor-\lfloor{\frac{n+2}{3}}\rfloor$?

И отсюда что-то нужно ещё вычесть, не пойму как.

-- 27.07.2017, 00:55 --

Aether в сообщении #1236128 писал(а):

$p$ будет иметь для нас всё меньшее значение, и скоро мы от этой переменной совсем избавимся. Причина: оно не входит в формулу $\frac{(m+1)(m+2)}{2}$ для числа композиций.

И всё-таки хотелось бы разобраться со знаками $p$

[Dmitriy40]

Разве $\frac{n}{3}-n \operatorname{div} 3$ - остаток?! Мне всегда казалось что остаток это $n-3(n \operatorname{div}3) = n-3 \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor = n \bmod 3$.

[Aether]

Dmitriy40 в сообщении #1236136 писал(а):

Разве $\frac{n}{3}-n \operatorname{div} 3$ - остаток?! Мне всегда казалось что остаток это $n-3(n \operatorname{div}3) = n-3 \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor = n \bmod 3$.

Да, точно, спасибо. Сейчас исправлю.

[svv]

А Вы можете на всякий случай уточнить, чему равно $m_1$ для случаев $n\operatorname{mod}3=0, 1, 2$ ?

[Dmitriy40]

(Операции математикам)

Для математиков операция $\operatorname{div}$ гораздо менее понятна чем операция $\bmod$. Ну или хотя бы $n-3 \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor$, если для вас операция взятия остатка $\bmod$ столь непривычна.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1236140 писал(а):

Для математиков операция $\operatorname{div}$ гораздо менее понятна чем операция $\bmod$.

Странно, если так — в начальной школе же все учились. Некоторым, впрочем, могут быть не очень понятными операции $\operatorname{div}\pi$ или ${}\bmod 0$, но тут как раз самый смак.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

arseniiv
Ну не знаю, мне казалось что математики избегают использования операции $\operatorname{div}$, да и вообще целочисленного деления, при необходимости записывая её как $\left\lfloor ..\right\rfloor$ (или изредка может как $[..]$). Кстати её же можно перепутать с дивергенцией, не? Конечно дивергенция и целочисленные вычисления редко соседствуют, однако ж ...
И ещё кстати, $x \operatorname{div} \pi$ вполне себе понятен, как $\left\lfloor \dfrac{x}{\pi} \right\rfloor$, деление с округлением к $-\infty$ до целого.
Но конкретно тут, я не понимаю почему не написать простой честный понятный $\bmod$. Да и $i$ сделать с нуля, не понадобится скобка $(i-1)$.

[Aether]

svv в сообщении #1236139 писал(а):

А Вы можете на всякий случай уточнить, чему равно $m_1$ для случаев $n\operatorname{mod}3=0, 1, 2$ ?

0,2,1?

-- 27.07.2017, 02:03 --

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1236140 писал(а):

Для математиков операция $\operatorname{div}$ гораздо менее понятна чем операция $\bmod$. Ну или хотя бы $n-3 \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor$, если для вас операция взятия остатка $\bmod$ столь непривычна.

Это хорошо, что я вообще вспомнил хоть что-то из обозначений, чтобы меня хоть как-то поняли, а то я уже словами собирался всю формулу объяснять )))

[arseniiv]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1236149 писал(а):

при необходимости записывая её как $\left\lfloor ..\right\rfloor$

А, ну с этим соглашусь, наверно. Это и мне кажется более удобным — а вдруг вместо пола потолок понадобится или ещё что-то. И про дивергенцию согласен, хотя действительно вряд ли области их применения так уж пересекаются.

А $\bmod$ — это must have. Кнут бы просто так его в книжки не включал (argumentum ad Cnuthum).

[ET]

Кратко посмотрел задачку, прикинул на листочке, поискал в теме то, о чем я думал -не нашел. А странно
А по-моему очевидно, что если
$x_i$ $y_i$ - вероятности на $i$м шаге быть дома и в одной из точек не дома соответсвенно, то
$x_i+2y_i=1$
и
$x_{i+1}=y_i=\frac{1-x_i}{2}$
Должно легко сводиться к геометрической прогрессии
Зачем тут считают число путей?

[Dmitriy40]

ET
Вот здесь приведены вероятности, они отвечают Вашей зависимости $x_{i+1}=\frac{1-x_i}{2}, x_0=1$ и выражаются формулой $x_n = \frac{2^{n+1} - 2(-1)^n}{3\cdot 2^{n+1}} = \frac{1}{3}(1-\frac{(-1)^n}{2^n})$ (взята из OEIS и дополнена), Вы считаете это геометрической прогрессией?

[Aether]

(Оффтоп)

Интересно, сходится ли такой ряд и к чему: $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n \frac{1}{3}(1-\frac{(-1)^n}{2^n})$
?
Частичные суммы $x_n$ до четных $n$ равны$ x_n$, а сам ряд видимо сходится к $\frac13$

[wrest]

Aether в сообщении #1236226 писал(а):

Интересно, сходится ли такой ряд и к чему: $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n \frac{1}{3}(1-\frac{(-1)^n}{2^n})$

Нет, конечно.
Расходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{3}(1-\frac{(-1)^n}{2^n})$ -- последовательность его частичных сумм стремится к бесконечности.

[Aether]

wrest в сообщении #1236230 писал(а):

Aether в сообщении #1236226 писал(а):

Интересно, сходится ли такой ряд и к чему: $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n \frac{1}{3}(1-\frac{(-1)^n}{2^n})$

Нет, конечно. Как и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{3}(1-\frac{(-1)^n}{2^n})$ который очевидно расходится (последовательность его частичных сумм стремится к бесконечности).

Частичная сумма до четных членов последовательности включительно равна самим этим четным членам, а члены последовательности стремяться к $\frac{1}{3}$.

Не является ли это каким-то особым видом сходимости?