Как пришли к использованию пространства Минковского в СТО

[Anna from Svetl]

Здравствуйте. Вопрос скорее исторический. Главным образом, меня интересует, каким путем надо идти, чтобы появилась потребность в преобразованиях Лоренца и пространстве Минковского. Если я правильно понимаю, вначале были записаны уравнения Максвелла в форме

$$ \begin{array}{l} \operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho\\ \operatorname{div}\mathbf{B}=0\\ \operatorname{rot}\mathbr{E}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \mathbr{B}}{\partial t}\\ \operatorname{rot}\mathbr{B}=\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \mathbr{E}}{\partial t}+\dfrac{4\pi}{c}\mathbr{j}. \end{array} $$

(или изначально у них была другая форма?).
Как поняли, что компоненты электрического и магнитного поля преобразуются при переходе в другую ИСО посредством преобразований Лоренца и как пришли к идее, что нужно рассматривать пространство векторов $(ct,x,y,z)$, в котором такие преобразования оставляют неизменным комбинацию $c^2t^2-x^2-y^2-z^2$.

[arseniiv]

Можно, например, увидеть, что преобразования Лоренца похожи на евклидовы повороты, и увидеть, что похожи именно тем, что это ровно те преобразования, которые сохраняют определённую квадратичную форму.

А исторически, если не ошибаюсь, преобразования нашли в первый раз подбором (отправляясь от галилеевых — тут сложновато вообще ни разу не попасть). Как исторически увидели интервал, не в курсе.

[Anna from Svetl]

arseniiv
Мне вот интересно для чего именно их изначально подбирали, что они должны были сохранять. Я вот вижу как можно прийти к интервалу через поиск преобразований координат, не меняющих уравнения Максвелла, записанные для 4-потенциала

$$ \square A^{\mu}=\dfrac{4\pi}{c}J^{\mu}. $$

Линейное преобразование координат $(ct,x,y,z)$, не изменяющее форму такого уравнения не должно изменять квадратичную форму с матрицей

$$ \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0& 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 &0 & -1 \end{array} \right) $$

Но, во- первых, скорее всего, исторически подход был все же другой, а во-вторых, не понятно, почему это те же самые преобразования, которые используются для компонент поля.

[Metford]

Anna from Svetl в сообщении #1236084 писал(а):

(или изначально у них была другая форма?).

Совсем другая. И их было больше. Посмотреть можно в "Трактате об электричестве и магнетизме" Максвелла.

Anna from Svetl в сообщении #1236084 писал(а):

Как поняли, что компоненты электрического и магнитного поля преобразуются при переходе в другую ИСО посредством преобразований Лоренца

На мой вкус неточная формулировка.

По основному вопросу, наверное, можно к книге Угарова "Специальная теория относительности" попробовать обратиться. Там и исторический очерк имеется, если память не изменяет.

-- 26.07.2017, 20:37 --

Anna from Svetl в сообщении #1236089 писал(а):

почему это те же самые преобразования, которые используются для компонент поля.

И вот опять же. Компоненты векторов напряжённости электрического и магнитного поля - это по совместительству компоненты тензора электромагнитного поля. А тензор это именно по отношению к преобразованиям группы Лоренца. Т.е. переход от базиса к базису (между системами отсчёта в данном случае) - через преобразования Лоренца, а соответствующее преобразование компонент тензора - как тензорный закон велит.
Так что это не то же преобразование, а проявление тензорной природы физических полей.

[Munin]

Anna from Svetl в сообщении #1236084 писал(а):

(или изначально у них была другая форма?).

Да, изначально была другая форма, более сумбурная.
https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_Maxwell's_equations

Anna from Svetl в сообщении #1236084 писал(а):

Как поняли, что компоненты электрического и магнитного поля преобразуются при переходе в другую ИСО посредством преобразований Лоренца и как пришли к идее, что нужно рассматривать пространство векторов $(ct,x,y,z)$, в котором такие преобразования оставляют неизменным комбинацию $c^2t^2-x^2-y^2-z^2$.

На такие вопросы лучше всего отвечают статьи первооткрывателей. Нагуглите книжку
Тяпкин (ред.) Принцип относительности. (Сборник работ по специальной теории относительности.)
и почитайте там работы Лоренца, Пуанкаре, Эйнштейна, Минковского, стр. 67-180.

Также вам может быть очень интересен и познавателен двухтомник
Уиттекер. История теорий эфира и электричества. Классические теории.
Уиттекер. История теорий эфира и электричества. Современные теории (1900-1926 гг.).

-- 26.07.2017 20:40:38 --

Metford в сообщении #1236090 писал(а):

По основному вопросу, наверное, можно к книге Угарова "Специальная теория относительности" попробовать обратиться.

-1. Плохая книга. По конкретному вопросу не помню, но в целом не рекомендую.

[svv]

Anna from Svetl в сообщении #1236089 писал(а):

Мне вот интересно для чего именно их изначально подбирали, что они должны были сохранять.

Они должны были сохранять вид дифференциального оператора (д'Аламбера) в волновом уравнении. Вы записали его для потенциалов; декартовы компоненты полей $\mathbf E, \mathbf B$ удовлетворяют уравнению с тем же оператором.

Запишем оператор в виде $\eta^{ik}\partial_i\partial_k$, где $\eta^{ik}=\operatorname{diag}(+1, -1, -1, -1)$. (Вероятно, таких обозначений в то время не было, но у меня их использование не предполагает использование теории относительности.) Потребуем, чтобы оператор сохранял свой вид при линейных преобразованиях независимых переменных $x^i=A^{i}{}_{\ell}\, {\tilde x}^{\ell}+B^i$. Получим условие на матрицу преобразования:
${\eta}^{ik}=A^{i}{}_{\ell}\, A^{k}{}_{m}\, {\eta}^{\ell m}$

Возможно, рассматривались характеристические поверхности этого оператора и изучался вопрос, при каких преобразованиях независимых переменных уравнение характеристик сохраняет свой вид. Получится то же.

[Metford]

Munin в сообщении #1236092 писал(а):

-1. Плохая книга.

Категорически несогласен. К тому же голословно...

[Walker_XXI]

А возьмите книгу В.Паули "Теория относительности", посмотрите первый параграф - исторический обзор. Там как раз кратко рассказывается и про Фогта с оператором д'Аламбера и местным временем, и про Лоренца с Фитцджералдом - зачем им понадобилось сокращение. Более подробный исторический обзор дан в книге А.Пайса "Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна".

Разумеется, потребности в пространстве Минковского как таковой на том этапе не было. Оно появилось позже благодаря стараниям Г.Минковского, как один из аспектов математически стройного обобщения физических формул. Дело в том, что у системы уравнений Максвелла есть ряд симметрий - преобразований, оставляющих инвариантными сами уравнения и/или их решения. Задача отыскания таких преобразований симметрий - формально чисто математическая (хотя результат имеет и глубокий физический смысл). И одним из таких преобразований является группа Лоренца. А её представление как группы вращений 4-мерного псевдоевклидова пространства - одна из возможных точек зрения.

[Munin]

Metford в сообщении #1236127 писал(а):

К тому же голословно...

Личный опыт. Я в Угарове косяки какие-то находил, ещё когда осваивал СТО сам. В целом, хороших учебников по СТО прискорбно мало, и этот вывод основан на переборе большого количества кандидатов.

Walker_XXI в сообщении #1236174 писал(а):

И одним из таких преобразований является группа Лоренца. А её представление как группы вращений 4-мерного псевдоевклидова пространства - одна из возможных точек зрения.

Ну уж. Уравнения Максвелла дают не только группу Лоренца, но и её действие на пространстве $(x,y,z,t).$ Не согласны - найдите мне в них ещё какую-нибудь другую группу Лоренца.

[Walker_XXI]

Munin в сообщении #1236210 писал(а):

Ну уж. Уравнения Максвелла дают не только группу Лоренца, но и её действие на пространстве $(x,y,z,t).$ Не согласны - найдите мне в них ещё какую-нибудь другую группу Лоренца.

Не совсем понял, в чём вопрос? Разве из моих слов следует, что симметрии уравнений Максвелла дают несколько групп Лоренца? Представления возникают разные - в ур-я Максвелла входят и векторы, и тензоры по группе Лоренца. Но это одно преобразование симметрии.

[Munin]

Просто неверно, что это "одна из возможных точек зрения". Единственная.

[Walker_XXI]

Munin в сообщении #1236234 писал(а):

Просто неверно, что это "одна из возможных точек зрения". Единственная.

Я лишь хотел отметить, что можно рассматривать группу псевдоортогональных матриц 4x4, не связывая её с какими-либо преобразованиями. Более того, можно даже не рассматривать матричную реализацию - чисто формально задать структурные соотношения алгебры Ли и с помощью экспоненциального отображения получить соответствующую группу. С тем, что ур-я Максвелла однозначно задают нам конкретные представления группы Лоренца и их физическую интерпретацию, я не спорю.

[Munin]

Walker_XXI в сообщении #1236244 писал(а):

Я лишь хотел отметить, что можно рассматривать группу псевдоортогональных матриц 4x4, не связывая её с какими-либо преобразованиями.

Разумеется. Но как только вы произносите "уравнения Максвелла", эта лафа заканчивается. А в физике эта группа (${\color[rgb]{0,0.341,0.518}\mathrm{SO}(1,3)},$ кстати) появляется именно в таком контексте.

[Red_Herring]

Walker_XXI в сообщении #1236244 писал(а):

чисто формально задать структурные соотношения алгебры Ли и с помощью экспоненциального отображения получить соответствующую группу

Вообще говоря, группа Ли не восстанавливается однозначно по алгебре.

[arseniiv]

(Оффтоп)

А я думал, тут о конформных преобразованиях заговорят.