На самом деле, мой вопрос должен был быть такой: как из уравнений Максвелла получить группу Лоренца?
я уже пробовала post1236089.html#p1236089
Но там я смотрела только на преобразование координат, без учета преобразования 4-потенциала и тока. Но их же тоже как-то надо учесть.
Кстати, раньше не задумывалась, но почему преобразование должно быть именно линейным?
Мне вот интересно для чего именно их изначально подбирали, что они должны были сохранять.
На самом деле операция получения группы симметрии чисто алгебраическая. Позволю себе несколько вольно процитировать уже упомянутую выше монографию Фущича и Никитина.
Пусть у нас есть некоторое однородное уравнение (Максвелла, Клейна-Гордона, Дирака - не важно, оно моет быть и нелинейным, и не дифференциальным)
где
- оператор, определённый на пространстве функций
. Тогда в широком смысле оператором симметрии уравнения (1) считается произвольный (линейный, нелинейный, дифференциальный, интегральный и т.д.) оператор
, переводящий решения уравнения
в решения же, т.е. удовлетворяющий условию
для каждого
, принадлежащего множеству решений.
Однако наряду с
для линейного дифференциального уравнения указанному условию, очевидно, удовлетворяют также
, т.е. число операторов симметрии для каждого дифференциального уравнения, вообще говоря, бесконечно. Поэтому на практике, как правило, ограничиваются каким-то достаточно узким классом операторов симметрии. Линейные дифференциальные операторы первого порядка представляют особый интерес, поскольку могут рассматриваться, как генераторы групп Ли. Ну а далее, выписывая конкретный вид операторов
и
(с неизвестными коэффициентами) и подставляя в условие (2), получаем систему уравнений, решения которой и дают нам операторы симметрии.
Примечание. Все операторные равенства нужно понимать в слабом смысле, т.е. операторы слева и справа должны давать одинаковый результат при действии на произвольную функцию
.
Операторы
(из класса линейных диффоператоров первого порядка) образуют алгебру, которая называется алгеброй инвариантности уравнения (1). Алгоритм восстановления группы локальной непрерывной симметрии по алгебре инвариантности строго описан во многих книгах по теории групп. Каждому базисному элементу алгебры ставится в соответствие однопараметрическая подгруппа преобразований координат
и функций
.
Именно таким способом из уравнений Максвелла можно получить группу Лоренца (точнее, её неоднородное расширение - группу Пуанкаре).
Для чего это нужно?
1) Алгебра инвариантности обычно позволяет относительно легко найти интегралы движения, не прибегая к решению диффура.
2) Используя алгебру инвариантности можно в принципе описать все системы координат, в которых уравнение допускает решения с разделяющимися переменными.
3) Каждой алгебре инвариантности (в класса линейных диффоператоров первого порядка) можно сопоставить локальную группу преобразований симметрии данного уравнения. Ну а вопросам динамической симметрии физических систем, их роли в понимании физики процессов, посвящена обширная литература.