2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Отрицание утверждения с O-большим
Сообщение24.07.2017, 23:37 


23/02/12
3338
Теперь давайте сформулируем, что является контрпримером к данной эквивалентной формулировке ГР.
Существуют такая функция $f(n)=O(n^{1/2+\epsilon})$ и такое $n \geq n_0$, что $|M(n)|>f(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.07.2017, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2087
Минск, Беларусь
А толку-то?

Почитайте Титчмарша, что ли, для начала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.07.2017, 23:56 


23/02/12
3338
vicvolf в сообщении #1235744 писал(а):
Теперь давайте сформулируем, что является контрпримером к данной эквивалентной формулировке ГР.
Существуют такая функция $f(n)=O(n^{1/2+\epsilon})$ и такое $n \geq n_0$, что $|M(n)|>f(n)$.

Droog_Andrey в сообщении #1235745 писал(а):
А толку-то?

Возьмем в качестве $f(n)=n^{1/2}\ln(n)$ и $n=5 > n_0=1$. Тогда $|M(5)|=3>5^{1/2}\ln(5)$. Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2087
Минск, Беларусь
Всё ещё печальнее. $n^{1/2}\ln(n)$ имеет меньший порядок малости, чем $n^{1/2+\varepsilon}$ для $\varepsilon > 0$. И пример с пятёркой совсем не в тему, почитайте про $O$ и $o$ хотя бы в википедии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 01:01 


23/02/12
3338
Droog_Andrey в сообщении #1235762 писал(а):
$n^{1/2}\ln(n)$ имеет меньший порядок малости, чем $n^{1/2+\varepsilon}$ для $\varepsilon > 0$.

Xaositect в сообщении #1235061 писал(а):
Например, $n^{\frac12} \log n = O(n^{\frac12 + \varepsilon})$ при любом $\varepsilon > 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 01:08 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
vicvolf в сообщении #1235772 писал(а):
Droog_Andrey в сообщении #1235762 писал(а):
$n^{1/2}\ln(n)$ имеет меньший порядок малости, чем $n^{1/2+\varepsilon}$ для $\varepsilon > 0$.

Xaositect в сообщении #1235061 писал(а):
Например, $n^{\frac12} \log n = O(n^{\frac12 + \varepsilon})$ при любом $\varepsilon > 0$.
Droog_Andrey в сообщении #1235762 писал(а):
почитайте про $O$ и $o$ хотя бы в википедии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 01:18 


23/02/12
3338
Хорошо, тогда возьмем в качестве $f(n)=n^{1/2+1/100}$ и $n=5 > n_0=1$. Тогда $|M(5)|=3>5^{1/2+1/100}=2.27.....$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 07:29 


14/01/11
3019
vicvolf, если вы берёте обозначения из этого сообщения
Sender в сообщении #1235068 писал(а):
$\forall \varepsilon>0\exists n_0\in \mathbb{N},\exists C\in\mathbb{R}:\forall n>n_0\; |M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}.$

и взяли $\varepsilon=\frac{1}{100}$, то $C$ и $n_0$ вовсе не обязаны равняться единице. Их надо подобрать таким образом, чтобы неравенство $|M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ выполнялось при всех $n$, больших $n_0$.

Если же вам удастся доказать, что при $\varepsilon=\frac{1}{100}$ (или любом другом $\varepsilon>0$) невозможно подобрать такие $C$ и $n_0$, чтобы неравенство $|M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ выполнялось при всех $n$, больших $n_0$, тогда вы опровергнете гипотезу Римана в такой формулировке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 14:40 


23/02/12
3338
Sender отрицанием к высказыванию, что для любого $n>n_0$ должно выполняться неравенство $|M(n)| \leq Cn^{1/2+\epsilon}$ является высказывание, чтобы хотя бы для одного $n>n_0$ данное неравенство не выполняется. Поэтому для контр примера достаточно указать такие: $\epsilon,C,n_0$, чтобы хотя бы для одного $n>n_0$ неравенство не выполнялось. Я указал такие значения: $\epsilon=0.01,C=1,n_0=1,n=5$, при которых неравенство не выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Отрицанием к высказыванию "для любого $\varpsilon > 0$ существуют $C$ и $n_0$ такие, что для любого $n > n_0$ выпоняется неравенство" будет высказывание "существует $\varpsilon > 0$ такой, что для любых $C$ и $n_0$ найдется $n > n_0$, для которого неравенство не выполняется". Так что надо указать $\varepsilon$, а вот $C$ и $n_0$ могут быть любыми, и $n$ надо указать в зависимости от этих произвольных $C$ и $n_0$.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.07.2017, 14:47 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрицание утверждения с O-большим
Сообщение25.07.2017, 16:05 


23/02/12
3338
Известна гипотеза Мертенса: для всех натуральных $n>1$ выполняется неравенство $|M(n)|<n^{1/2}$, которая была опровергнута в 1985 году.
Рассмотрим другую гипотезу, которая ближе к ГР: для всех натуральных $n>1$ и любого действительного $\epsilon >0$ выполняется неравенство $|M(n)|<n^{1/2+\epsilon}$.
Последняя гипотеза опровергается соотношением: $|M(5)|=3>5^{1/2+1/100}=2.27...$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрицание утверждения с O-большим
Сообщение25.07.2017, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Вообще-то $M(5) = -2$. Если бы все было так просто, то и гипотеза Мертенса не продержалась бы целый век (а скорее всего, была бы изначально сформулирована асимптотически, начиная с некоторого $n_0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрицание утверждения с O-большим
Сообщение25.07.2017, 16:45 


23/02/12
3338
$\mu(2)=-1,\mu(3)=-1,\mu(4)=0,\mu(5)=-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрицание утверждения с O-большим
Сообщение25.07.2017, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
$\mu(1) = 1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group