2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Отрицание утверждения с O-большим
Сообщение24.07.2017, 23:37 


23/02/12
3372
Теперь давайте сформулируем, что является контрпримером к данной эквивалентной формулировке ГР.
Существуют такая функция $f(n)=O(n^{1/2+\epsilon})$ и такое $n \geq n_0$, что $|M(n)|>f(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.07.2017, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2092
Минск, Беларусь
А толку-то?

Почитайте Титчмарша, что ли, для начала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение24.07.2017, 23:56 


23/02/12
3372
vicvolf в сообщении #1235744 писал(а):
Теперь давайте сформулируем, что является контрпримером к данной эквивалентной формулировке ГР.
Существуют такая функция $f(n)=O(n^{1/2+\epsilon})$ и такое $n \geq n_0$, что $|M(n)|>f(n)$.

Droog_Andrey в сообщении #1235745 писал(а):
А толку-то?

Возьмем в качестве $f(n)=n^{1/2}\ln(n)$ и $n=5 > n_0=1$. Тогда $|M(5)|=3>5^{1/2}\ln(5)$. Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2092
Минск, Беларусь
Всё ещё печальнее. $n^{1/2}\ln(n)$ имеет меньший порядок малости, чем $n^{1/2+\varepsilon}$ для $\varepsilon > 0$. И пример с пятёркой совсем не в тему, почитайте про $O$ и $o$ хотя бы в википедии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 01:01 


23/02/12
3372
Droog_Andrey в сообщении #1235762 писал(а):
$n^{1/2}\ln(n)$ имеет меньший порядок малости, чем $n^{1/2+\varepsilon}$ для $\varepsilon > 0$.

Xaositect в сообщении #1235061 писал(а):
Например, $n^{\frac12} \log n = O(n^{\frac12 + \varepsilon})$ при любом $\varepsilon > 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 01:08 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
vicvolf в сообщении #1235772 писал(а):
Droog_Andrey в сообщении #1235762 писал(а):
$n^{1/2}\ln(n)$ имеет меньший порядок малости, чем $n^{1/2+\varepsilon}$ для $\varepsilon > 0$.

Xaositect в сообщении #1235061 писал(а):
Например, $n^{\frac12} \log n = O(n^{\frac12 + \varepsilon})$ при любом $\varepsilon > 0$.
Droog_Andrey в сообщении #1235762 писал(а):
почитайте про $O$ и $o$ хотя бы в википедии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 01:18 


23/02/12
3372
Хорошо, тогда возьмем в качестве $f(n)=n^{1/2+1/100}$ и $n=5 > n_0=1$. Тогда $|M(5)|=3>5^{1/2+1/100}=2.27.....$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 07:29 


14/01/11
3065
vicvolf, если вы берёте обозначения из этого сообщения
Sender в сообщении #1235068 писал(а):
$\forall \varepsilon>0\exists n_0\in \mathbb{N},\exists C\in\mathbb{R}:\forall n>n_0\; |M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}.$

и взяли $\varepsilon=\frac{1}{100}$, то $C$ и $n_0$ вовсе не обязаны равняться единице. Их надо подобрать таким образом, чтобы неравенство $|M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ выполнялось при всех $n$, больших $n_0$.

Если же вам удастся доказать, что при $\varepsilon=\frac{1}{100}$ (или любом другом $\varepsilon>0$) невозможно подобрать такие $C$ и $n_0$, чтобы неравенство $|M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ выполнялось при всех $n$, больших $n_0$, тогда вы опровергнете гипотезу Римана в такой формулировке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 14:40 


23/02/12
3372
Sender отрицанием к высказыванию, что для любого $n>n_0$ должно выполняться неравенство $|M(n)| \leq Cn^{1/2+\epsilon}$ является высказывание, чтобы хотя бы для одного $n>n_0$ данное неравенство не выполняется. Поэтому для контр примера достаточно указать такие: $\epsilon,C,n_0$, чтобы хотя бы для одного $n>n_0$ неравенство не выполнялось. Я указал такие значения: $\epsilon=0.01,C=1,n_0=1,n=5$, при которых неравенство не выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение25.07.2017, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Отрицанием к высказыванию "для любого $\varpsilon > 0$ существуют $C$ и $n_0$ такие, что для любого $n > n_0$ выпоняется неравенство" будет высказывание "существует $\varpsilon > 0$ такой, что для любых $C$ и $n_0$ найдется $n > n_0$, для которого неравенство не выполняется". Так что надо указать $\varepsilon$, а вот $C$ и $n_0$ могут быть любыми, и $n$ надо указать в зависимости от этих произвольных $C$ и $n_0$.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.07.2017, 14:47 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрицание утверждения с O-большим
Сообщение25.07.2017, 16:05 


23/02/12
3372
Известна гипотеза Мертенса: для всех натуральных $n>1$ выполняется неравенство $|M(n)|<n^{1/2}$, которая была опровергнута в 1985 году.
Рассмотрим другую гипотезу, которая ближе к ГР: для всех натуральных $n>1$ и любого действительного $\epsilon >0$ выполняется неравенство $|M(n)|<n^{1/2+\epsilon}$.
Последняя гипотеза опровергается соотношением: $|M(5)|=3>5^{1/2+1/100}=2.27...$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрицание утверждения с O-большим
Сообщение25.07.2017, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Вообще-то $M(5) = -2$. Если бы все было так просто, то и гипотеза Мертенса не продержалась бы целый век (а скорее всего, была бы изначально сформулирована асимптотически, начиная с некоторого $n_0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрицание утверждения с O-большим
Сообщение25.07.2017, 16:45 


23/02/12
3372
$\mu(2)=-1,\mu(3)=-1,\mu(4)=0,\mu(5)=-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрицание утверждения с O-большим
Сообщение25.07.2017, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
$\mu(1) = 1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group