Отрицание утверждения с O-большим

[vicvolf]

Теперь давайте сформулируем, что является контрпримером к данной эквивалентной формулировке ГР.
Существуют такая функция $f(n)=O(n^{1/2+\epsilon})$ и такое $n \geq n_0$, что $|M(n)|>f(n)$.

[Droog_Andrey]

А толку-то?

Почитайте Титчмарша, что ли, для начала.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1235744 писал(а):

Теперь давайте сформулируем, что является контрпримером к данной эквивалентной формулировке ГР.
Существуют такая функция $f(n)=O(n^{1/2+\epsilon})$ и такое $n \geq n_0$, что $|M(n)|>f(n)$.

Droog_Andrey в сообщении #1235745 писал(а):

А толку-то?

Возьмем в качестве $f(n)=n^{1/2}\ln(n)$ и $n=5 > n_0=1$. Тогда $|M(5)|=3>5^{1/2}\ln(5)$. Где ошибка?

[Droog_Andrey]

Всё ещё печальнее. $n^{1/2}\ln(n)$ имеет меньший порядок малости, чем $n^{1/2+\varepsilon}$ для $\varepsilon > 0$. И пример с пятёркой совсем не в тему, почитайте про $O$ и $o$ хотя бы в википедии.

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #1235762 писал(а):

$n^{1/2}\ln(n)$ имеет меньший порядок малости, чем $n^{1/2+\varepsilon}$ для $\varepsilon > 0$.

Xaositect в сообщении #1235061 писал(а):

Например, $n^{\frac12} \log n = O(n^{\frac12 + \varepsilon})$ при любом $\varepsilon > 0$.

[venco]

vicvolf в сообщении #1235772 писал(а):

Droog_Andrey в сообщении #1235762 писал(а):

$n^{1/2}\ln(n)$ имеет меньший порядок малости, чем $n^{1/2+\varepsilon}$ для $\varepsilon > 0$.

Xaositect в сообщении #1235061 писал(а):

Например, $n^{\frac12} \log n = O(n^{\frac12 + \varepsilon})$ при любом $\varepsilon > 0$.

Droog_Andrey в сообщении #1235762 писал(а):

почитайте про $O$ и $o$ хотя бы в википедии.

[vicvolf]

Хорошо, тогда возьмем в качестве $f(n)=n^{1/2+1/100}$ и $n=5 > n_0=1$. Тогда $|M(5)|=3>5^{1/2+1/100}=2.27.....$.

[Sender]

vicvolf, если вы берёте обозначения из этого сообщения

Sender в сообщении #1235068 писал(а):

$\forall \varepsilon>0\exists n_0\in \mathbb{N},\exists C\in\mathbb{R}:\forall n>n_0\; |M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}.$

и взяли $\varepsilon=\frac{1}{100}$, то $C$ и $n_0$ вовсе не обязаны равняться единице. Их надо подобрать таким образом, чтобы неравенство $|M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ выполнялось при всех $n$, больших $n_0$.

Если же вам удастся доказать, что при $\varepsilon=\frac{1}{100}$ (или любом другом $\varepsilon>0$) невозможно подобрать такие $C$ и $n_0$, чтобы неравенство $|M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ выполнялось при всех $n$, больших $n_0$, тогда вы опровергнете гипотезу Римана в такой формулировке.

[vicvolf]

Sender отрицанием к высказыванию, что для любого $n>n_0$ должно выполняться неравенство $|M(n)| \leq Cn^{1/2+\epsilon}$ является высказывание, чтобы хотя бы для одного $n>n_0$ данное неравенство не выполняется. Поэтому для контр примера достаточно указать такие: $\epsilon,C,n_0$, чтобы хотя бы для одного $n>n_0$ неравенство не выполнялось. Я указал такие значения: $\epsilon=0.01,C=1,n_0=1,n=5$, при которых неравенство не выполняется.

[Xaositect]

Отрицанием к высказыванию "для любого $\varpsilon > 0$ существуют $C$ и $n_0$ такие, что для любого $n > n_0$ выпоняется неравенство" будет высказывание "существует $\varpsilon > 0$ такой, что для любых $C$ и $n_0$ найдется $n > n_0$, для которого неравенство не выполняется". Так что надо указать $\varepsilon$, а вот $C$ и $n_0$ могут быть любыми, и $n$ надо указать в зависимости от этих произвольных $C$ и $n_0$.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[vicvolf]

Известна гипотеза Мертенса: для всех натуральных $n>1$ выполняется неравенство $|M(n)|<n^{1/2}$, которая была опровергнута в 1985 году.
Рассмотрим другую гипотезу, которая ближе к ГР: для всех натуральных $n>1$ и любого действительного $\epsilon >0$ выполняется неравенство $|M(n)|<n^{1/2+\epsilon}$.
Последняя гипотеза опровергается соотношением: $|M(5)|=3>5^{1/2+1/100}=2.27...$.

[Xaositect]

Вообще-то $M(5) = -2$. Если бы все было так просто, то и гипотеза Мертенса не продержалась бы целый век (а скорее всего, была бы изначально сформулирована асимптотически, начиная с некоторого $n_0$).

[vicvolf]

$\mu(2)=-1,\mu(3)=-1,\mu(4)=0,\mu(5)=-1$

[Xaositect]

$\mu(1) = 1$