2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
Aether, Вы нашли определение $O$-большого при $x\to x_0$.
Но Вам нужно не оно, а определение $O$-большого при $n\to\infty$.
Большинству людей это интуитивно понятно, и поэтому не подчёркивается специально.
$n_0$ тут ни при чём и с $x_0$ никак не связан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 15:24 


13/02/17

317
Varanasi
Mikhail_K в сообщении #1235272 писал(а):
Aether, Вы нашли определение $O$-большого при $x\to x_0$.
Но Вам нужно не оно, а определение $O$-большого при $n\to\infty$.
Большинству людей это интуитивно понятно, и поэтому не подчёркивается специально.
$n_0$ тут ни при чём и с $x_0$ никак не связан.


Спасибо, в указанном уважаемым Someone параграфе книги Кудрявцева Л.Д. такого определения я действительно не нашел, а интуиция меня видимо подводит в данном случае. Вот я и не пойму, что такое $ n_0$ в приведенной уважаемым Sender трактовке и как оно соотносится с определением O-большого.

Someone в сообщении #1235268 писал(а):
Троллинг продолжается? Вы бы хоть на определение глянули — где там $x_0$ и где $n_0$. Я понимаю, что троллинг — святое дело, но зачем уж совсем полным идиотом прикидываться?


Прошу прощения за то, что увел тему в сторону своего непонимания и бесплодно отнял время участников. Если мне не помогли разобраться ни учебники, ни объяснения стольких ЗУ, то мой случай видимо безнадежный. Спасибо, всем попытавшимся мне помочь )

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 15:32 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Aether
Смысл $n_0$ в том, что для любого $\varepsilon>0$ и любого $n_0\in\mathbb N$ найдётся такое $C$, что для всех натуральных $n\geqslant n_0$ будет выполнено неравенство. Т.е. не для всех натуральных $n$, а лишь начиная с $n_0$. И по моему это достаточно очевидно сразу из правильной записи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 16:15 


13/02/17

317
Varanasi
Dmitriy40
Спасибо, изначально я так и понимал, только говорил о том, что $n_0$ можно взять равным 1, чтобы рассмотреть все значения натурального ряда, но меня отправили к определению O-большого и тут у меня началась путаница, поскольку определение использует $x_0$ , которое я не знаю куда прилепить и в нем нет $n_0$. И ещё, я с чего-то взял(видимо опять интуитивно), что если константа $C$ существует для всех $n>1$, то существует и константа для любого подмножества $\mathbb N$, элементы которого являются упорядоченными членами натурального ряда больше произвольно взятого $n_0\in\mathbb N$ и соответственно, чтобы сформулировать ГР вовсе не обязательно определять существование С для произвольного $n_0\in\mathbb N$ и вообще использовать это понятие, а достаточно сказать, что С существует для всего множества $\mathbb N$, но вероятно я ошибся, затем стал путаться в определениях O-большого и совсем приплыл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Aether в сообщении #1235277 писал(а):
в указанном уважаемым Someone параграфе книги Кудрявцева Л.Д. такого определения я действительно не нашел
Там есть аккуратное определение $O$-большого для функций. Попробуйте найти отличие определения Кудрявцева от того, которое процитировали Вы.

Если же мы говорим не о функциях, а о последовательностях (которые на самом деле тоже функции, определённые на множестве натуральных чисел), то роль $x_0$ играет $\infty$, а $n_0$ задаёт проколотую окрестность точки $x_0=\infty$ посредством неравенства $n>n_0$ (или $n\geqslant n_0$; в случае нестрогого неравенства натуральное число $n_0$ должно быть на $1$ больше, чем в случае строгого).

Aether в сообщении #1235256 писал(а):
Да, получается, что только исполнил копипаст, там оказывается аж 2 модуля - с каждой стороны соотношения по одному ))).
И вот после этого я должен Вам поверить, что Вы действительно хотите что-то выяснить, а не занимаетесь троллингом? А это ведь не единственный случай у Вас в этой теме. А если действительно хотите разобраться, то изучайте учебник и решайте задачи. На форуме Вас не научат. Не потому, что не хотят, а потому, что не смогут переписать сюда учебник с задачником, да ещё и проэкзаменовать.

Dmitriy40 в сообщении #1235278 писал(а):
для любого $\varepsilon>0$ и любого $n_0\in\mathbb N$ найдётся такое $C$
Неверно. Не "для любого $n_0$", а "существует $n_0$".

Aether в сообщении #1235285 писал(а):
только говорил о том, что $n_0$ можно взять равным 1
Вообще говоря, нельзя. Потому что при $n_0$ стоит квантор $\exists$, а не $\forall$. То есть, утверждается, что мы можем найти подходящее $n_0$, но не утверждается, что можно взять любое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 17:15 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Aether в сообщении #1235285 писал(а):
И ещё, я с чего-то взял(видимо опять интуитивно), что если константа $C$ существует для всех $n>1$, то существует и константа для любого подмножества $\mathbb N$, элементы которого являются упорядоченными членами натурального ряда больше произвольно взятого $n_0\in\mathbb N$
Это разумеется верно. А вот в обратную сторону (если верно для любого $n>n_0$, то верно и для $n>0$) в общем случае это не работает, функция слева вполне может иметь особенности при $n<n_0$, не покрываемые никаким выбором $C \in \mathbb R$. Ну например $f(n)=\frac{n}{\sqrt{|n-5|}}$, при $n=5$ не существует $C<\infty$ такой чтобы выполнялось $|f(n)|\leqslant |Cn^{\frac{1}{2}+\varepsilon}|, \varepsilon>0$. Потому и фиксируют некоторое значение $n_0$, начиная (или после) с которого функция ведёт себя "хорошо" (в любом желаемом смысле). Для многих функций $n_0=1$.
Как именно обстоят дела с гипотезой Римана в этом смысле я не смотрел.
Только ещё раз обратите внимание, что $n_0$ - это не точка где определяется (не)верность ГР, а лишь нижняя граница, выше которой для всех $n$ как раз и формулируется неравенство.

Someone в сообщении #1235291 писал(а):
Неверно. Не "для любого $n_0$", а "существует $n_0$".
Спасибо, действительно, тут я ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Dmitriy40 в сообщении #1235296 писал(а):
Потому и фиксируют некоторое значение $n_0$, начиная (или после) с которого функция ведёт себя "хорошо" (в любом желаемом смысле).
Увеличение $n_0$, вообще говоря, позволяет уменьшить константу $C$. Что далеко не всегда бесполезно.

Ещё одна причина — в записи $b_n=O(a_n)$ (при $n\to\infty$) последовательность $a_n$ может обращаться в $0$ в некотором конечном множестве точек, и тогда эти точки нужно исключить, выбрав $n_0$ достаточно большим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 17:56 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва

(Someone)

Someone
Это я помню, даже хотел такое же написать (включая вопрос о пределе минимума $C$ при $n_0 \to \infty$), но потом стёр чтобы не уводить товарища в сторону.
Да и с квантором для $n_0$ ошибся потому что думал в понятиях сложности алгоритмов, а там $n_0$ часто выбирают сами, не просто существует, а вполне конкретное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 18:08 


13/02/17

317
Varanasi
Someone в сообщении #1235291 писал(а):
Попробуйте найти отличие определения Кудрявцева от того, которое процитировали
Вы.


Вероятно Кудрявцев дает более конкретное определение функции, позволяющее рассматривать и последовательности. Также он уточняет смысл $x\to x_0$.

Someone в сообщении #1235291 писал(а):
Если же мы говорим не о функциях, а о последовательностях (которые на самом деле тоже функции, определённые на множестве натуральных чисел), то роль $x_0$ играет $\infty$, а $n_0$ задаёт проколотую окрестность точки $x_0=\infty$ посредством неравенства $n>n_0$ (или $n\geqslant n_0$; в случае нестрогого неравенства натуральное число $n_0$ должно быть на $1$ больше, чем в случае строгого).


Спасибо.

Someone в сообщении #1235291 писал(а):
Вообще говоря, нельзя. Потому что при $n_0$ стоит квантор $\exists$, а не $\forall$. То есть, утверждается, что мы можем найти подходящее $n_0$, но не утверждается, что можно взять любое.


Нельзя согласно приведенному определению в котором при $n_0$ стоит квантор $\exists$, а не $\forall$. А вообще говоря? Если мы не рассмотрим случай $n>1$, то и не рассмотрим всего натурального ряда, относительно которого и формулируется ГР, а соответственно это будет и не гипотеза Римана вовсе, разве нет?

-- 22.07.2017, 19:10 --

Dmitriy40 в сообщении #1235296 писал(а):
А вот в обратную сторону (если верно для любого $n>n_0$, то верно и для $n>0$) в общем случае это не работает, функция слева вполне может иметь особенности при $n<n_0$, не покрываемые никаким выбором $C \in \mathbb R$.

Dmitriy40 в сообщении #1235296 писал(а):
Только ещё раз обратите внимание, что $n_0$ - это не точка где определяется (не)верность ГР, а лишь нижняя граница, выше которой для всех $n$ как раз и формулируется неравенство.

Да, спасибо, всё это я прекрасно понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Aether в сообщении #1235312 писал(а):
Вероятно Кудрявцев дает более конкретное определение функции, позволяющее рассматривать и последовательности. Также он уточняет смысл $x\to x_0$.
И т.д. Ну, не хотите разбираться — дело ваше.

-- Сб июл 22, 2017 20:13:57 --

(Dmitriy40)

Dmitriy40 в сообщении #1235309 писал(а):
стёр чтобы не уводить товарища в сторону
Хорошо уже видно, что время на него тратить бессмысленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: $O$-символика (из темы "Гипотеза Римана")
Сообщение23.07.2017, 14:33 
Заслуженный участник


08/04/08
8560

(Droog_Andrey)

Droog_Andrey в сообщении #1235127 писал(а):
Там маленькое $o$.
Спасибо, поправил.

А простите, какая разница?
$o(n^{a+\epsilon})=O(n^{a+\epsilon})$, но
$O(n^{a+\epsilon})=o(n^{a+2\epsilon})$, а так как $\epslion>0$ сколь угодно мало, то и $2\epsilon$ сколь угодно мало.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group