$O$-символика (из темы "Гипотеза Римана")

[Mikhail_K]

Aether, Вы нашли определение $O$-большого при $x\to x_0$.
Но Вам нужно не оно, а определение $O$-большого при $n\to\infty$.
Большинству людей это интуитивно понятно, и поэтому не подчёркивается специально.
$n_0$ тут ни при чём и с $x_0$ никак не связан.

[Aether]

Mikhail_K в сообщении #1235272 писал(а):

Aether, Вы нашли определение $O$-большого при $x\to x_0$.
Но Вам нужно не оно, а определение $O$-большого при $n\to\infty$.
Большинству людей это интуитивно понятно, и поэтому не подчёркивается специально.
$n_0$ тут ни при чём и с $x_0$ никак не связан.

Спасибо, в указанном уважаемым Someone параграфе книги Кудрявцева Л.Д. такого определения я действительно не нашел, а интуиция меня видимо подводит в данном случае. Вот я и не пойму, что такое $ n_0$ в приведенной уважаемым Sender трактовке и как оно соотносится с определением O-большого.

Someone в сообщении #1235268 писал(а):

Троллинг продолжается? Вы бы хоть на определение глянули — где там $x_0$ и где $n_0$. Я понимаю, что троллинг — святое дело, но зачем уж совсем полным идиотом прикидываться?

Прошу прощения за то, что увел тему в сторону своего непонимания и бесплодно отнял время участников. Если мне не помогли разобраться ни учебники, ни объяснения стольких ЗУ, то мой случай видимо безнадежный. Спасибо, всем попытавшимся мне помочь )

[Dmitriy40]

Aether
Смысл $n_0$ в том, что для любого $\varepsilon>0$ и любого $n_0\in\mathbb N$ найдётся такое $C$, что для всех натуральных $n\geqslant n_0$ будет выполнено неравенство. Т.е. не для всех натуральных $n$, а лишь начиная с $n_0$. И по моему это достаточно очевидно сразу из правильной записи.

[Aether]

Dmitriy40
Спасибо, изначально я так и понимал, только говорил о том, что $n_0$ можно взять равным 1, чтобы рассмотреть все значения натурального ряда, но меня отправили к определению O-большого и тут у меня началась путаница, поскольку определение использует $x_0$ , которое я не знаю куда прилепить и в нем нет $n_0$. И ещё, я с чего-то взял(видимо опять интуитивно), что если константа $C$ существует для всех $n>1$, то существует и константа для любого подмножества $\mathbb N$, элементы которого являются упорядоченными членами натурального ряда больше произвольно взятого $n_0\in\mathbb N$ и соответственно, чтобы сформулировать ГР вовсе не обязательно определять существование С для произвольного $n_0\in\mathbb N$ и вообще использовать это понятие, а достаточно сказать, что С существует для всего множества $\mathbb N$, но вероятно я ошибся, затем стал путаться в определениях O-большого и совсем приплыл.

[Someone]

Aether в сообщении #1235277 писал(а):

в указанном уважаемым Someone параграфе книги Кудрявцева Л.Д. такого определения я действительно не нашел

Там есть аккуратное определение $O$-большого для функций. Попробуйте найти отличие определения Кудрявцева от того, которое процитировали Вы.

Если же мы говорим не о функциях, а о последовательностях (которые на самом деле тоже функции, определённые на множестве натуральных чисел), то роль $x_0$ играет $\infty$, а $n_0$ задаёт проколотую окрестность точки $x_0=\infty$ посредством неравенства $n>n_0$ (или $n\geqslant n_0$; в случае нестрогого неравенства натуральное число $n_0$ должно быть на $1$ больше, чем в случае строгого).

Aether в сообщении #1235256 писал(а):

Да, получается, что только исполнил копипаст, там оказывается аж 2 модуля - с каждой стороны соотношения по одному ))).

И вот после этого я должен Вам поверить, что Вы действительно хотите что-то выяснить, а не занимаетесь троллингом? А это ведь не единственный случай у Вас в этой теме. А если действительно хотите разобраться, то изучайте учебник и решайте задачи. На форуме Вас не научат. Не потому, что не хотят, а потому, что не смогут переписать сюда учебник с задачником, да ещё и проэкзаменовать.

Dmitriy40 в сообщении #1235278 писал(а):

для любого $\varepsilon>0$ и любого $n_0\in\mathbb N$ найдётся такое $C$

Неверно. Не "для любого $n_0$", а "существует $n_0$".

Aether в сообщении #1235285 писал(а):

только говорил о том, что $n_0$ можно взять равным 1

Вообще говоря, нельзя. Потому что при $n_0$ стоит квантор $\exists$, а не $\forall$. То есть, утверждается, что мы можем найти подходящее $n_0$, но не утверждается, что можно взять любое.

[Dmitriy40]

Aether в сообщении #1235285 писал(а):

И ещё, я с чего-то взял(видимо опять интуитивно), что если константа $C$ существует для всех $n>1$, то существует и константа для любого подмножества $\mathbb N$, элементы которого являются упорядоченными членами натурального ряда больше произвольно взятого $n_0\in\mathbb N$

Это разумеется верно. А вот в обратную сторону (если верно для любого $n>n_0$, то верно и для $n>0$) в общем случае это не работает, функция слева вполне может иметь особенности при $n<n_0$, не покрываемые никаким выбором $C \in \mathbb R$. Ну например $f(n)=\frac{n}{\sqrt{|n-5|}}$, при $n=5$ не существует $C<\infty$ такой чтобы выполнялось $|f(n)|\leqslant |Cn^{\frac{1}{2}+\varepsilon}|, \varepsilon>0$. Потому и фиксируют некоторое значение $n_0$, начиная (или после) с которого функция ведёт себя "хорошо" (в любом желаемом смысле). Для многих функций $n_0=1$.
Как именно обстоят дела с гипотезой Римана в этом смысле я не смотрел.
Только ещё раз обратите внимание, что $n_0$ - это не точка где определяется (не)верность ГР, а лишь нижняя граница, выше которой для всех $n$ как раз и формулируется неравенство.

Someone в сообщении #1235291 писал(а):

Неверно. Не "для любого $n_0$", а "существует $n_0$".

Спасибо, действительно, тут я ошибся.

[Someone]

Dmitriy40 в сообщении #1235296 писал(а):

Потому и фиксируют некоторое значение $n_0$, начиная (или после) с которого функция ведёт себя "хорошо" (в любом желаемом смысле).

Увеличение $n_0$, вообще говоря, позволяет уменьшить константу $C$. Что далеко не всегда бесполезно.

Ещё одна причина — в записи $b_n=O(a_n)$ (при $n\to\infty$) последовательность $a_n$ может обращаться в $0$ в некотором конечном множестве точек, и тогда эти точки нужно исключить, выбрав $n_0$ достаточно большим.

[Dmitriy40]

(Someone)

Someone
Это я помню, даже хотел такое же написать (включая вопрос о пределе минимума $C$ при $n_0 \to \infty$), но потом стёр чтобы не уводить товарища в сторону.
Да и с квантором для $n_0$ ошибся потому что думал в понятиях сложности алгоритмов, а там $n_0$ часто выбирают сами, не просто существует, а вполне конкретное.

[Aether]

Someone в сообщении #1235291 писал(а):

Попробуйте найти отличие определения Кудрявцева от того, которое процитировали
Вы.

Вероятно Кудрявцев дает более конкретное определение функции, позволяющее рассматривать и последовательности. Также он уточняет смысл $x\to x_0$.

Someone в сообщении #1235291 писал(а):

Если же мы говорим не о функциях, а о последовательностях (которые на самом деле тоже функции, определённые на множестве натуральных чисел), то роль $x_0$ играет $\infty$, а $n_0$ задаёт проколотую окрестность точки $x_0=\infty$ посредством неравенства $n>n_0$ (или $n\geqslant n_0$; в случае нестрогого неравенства натуральное число $n_0$ должно быть на $1$ больше, чем в случае строгого).

Спасибо.

Someone в сообщении #1235291 писал(а):

Вообще говоря, нельзя. Потому что при $n_0$ стоит квантор $\exists$, а не $\forall$. То есть, утверждается, что мы можем найти подходящее $n_0$, но не утверждается, что можно взять любое.

Нельзя согласно приведенному определению в котором при $n_0$ стоит квантор $\exists$, а не $\forall$. А вообще говоря? Если мы не рассмотрим случай $n>1$, то и не рассмотрим всего натурального ряда, относительно которого и формулируется ГР, а соответственно это будет и не гипотеза Римана вовсе, разве нет?

-- 22.07.2017, 19:10 --

Dmitriy40 в сообщении #1235296 писал(а):

А вот в обратную сторону (если верно для любого $n>n_0$, то верно и для $n>0$) в общем случае это не работает, функция слева вполне может иметь особенности при $n<n_0$, не покрываемые никаким выбором $C \in \mathbb R$.

Dmitriy40 в сообщении #1235296 писал(а):

Только ещё раз обратите внимание, что $n_0$ - это не точка где определяется (не)верность ГР, а лишь нижняя граница, выше которой для всех $n$ как раз и формулируется неравенство.

Да, спасибо, всё это я прекрасно понимаю.

[Someone]

Aether в сообщении #1235312 писал(а):

Вероятно Кудрявцев дает более конкретное определение функции, позволяющее рассматривать и последовательности. Также он уточняет смысл $x\to x_0$.

И т.д. Ну, не хотите разбираться — дело ваше.

-- Сб июл 22, 2017 20:13:57 --

(Dmitriy40)

Dmitriy40 в сообщении #1235309 писал(а):

стёр чтобы не уводить товарища в сторону

Хорошо уже видно, что время на него тратить бессмысленно.

[Sonic86]

(Droog_Andrey)

Droog_Andrey в сообщении #1235127 писал(а):

Там маленькое $o$.

Спасибо, поправил.

А простите, какая разница?
$o(n^{a+\epsilon})=O(n^{a+\epsilon})$, но
$O(n^{a+\epsilon})=o(n^{a+2\epsilon})$, а так как $\epslion>0$ сколь угодно мало, то и $2\epsilon$ сколь угодно мало.