2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:20 


13/02/17

317
Varanasi
Sender в сообщении #1235119 писал(а):
Ну почти правильно, только у вас $n_0$ где-то по дороге потерялось. В принципе, можно обойтись и без него, если взять $C$ достаточно большим, но исходная формулировка этого не подразумевает.


Спасибо.
Так гипотеза Римана относится ко всем числам натурального ряда свободным от квадратов, поэтому и нужно рассматривать весь ряд, а не начиная с какого -то числа, каким бы ни было $C$, главное чтобы оно существовало и принадлежало $\mathbb R$. Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2089
Минск, Беларусь
Sonic86 в сообщении #1234956 писал(а):
Утверждение $(\forall \epsilon > 0)\left|\sum\limits_{n\leqslant x}\mu(n)\right|=O(x^{\frac{1}{2}+\epsilon})$ эквивалентно ГР
Там маленькое $o$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Aether в сообщении #1235076 писал(а):
Но Всё же спасибо Вам, благодаря Вам я пришел к такому пониманию:

$\forall \varepsilon>0, \forall n\in \mathbb N,  \exists n_0\in \mathbb{N},\exists C\in\mathbb{R}:\forall n>n_0\; |M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}.$

Но верно ли оно?
Формула записана неправильно, поскольку написаны два квантора $\forall n$, причём, второй находится в области действия первого. Первый $\forall n$ нужно выбросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:38 


13/02/17

317
Varanasi
Someone в сообщении #1235128 писал(а):
Формула записана неправильно, поскольку написаны два квантора $\forall n$, причём, второй находится в области действия первого. Первый $\forall n$ нужно выбросить.

Спасибо, с этим уже разобрался не без помощи ЗУ конечно.

-- 21.07.2017, 15:46 --

Кстати, почему в эквивалентной формулировке в википедии функция Мертенса не взята по модулю, а в расшифровке уважаемого Sender стоит модуль? Значит обозначение $O$ подразумевает в себе модуль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:49 


14/01/11
3037
Aether в сообщении #1235123 писал(а):
Так гипотеза Римана относится ко всем числам натурального ряда свободным от квадратов, поэтому и нужно рассматривать весь ряд, а не начиная с какого -то числа, каким бы ни было $C$, главное чтобы оно существовало и принадлежало $\mathbb R$. Разве не так?

Не знаю, так ли это, но из приведённой формулировки
Aether в сообщении #1235026 писал(а):
$(\forall \varepsilon > 0) M(n)=O(n^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$

это никоим образом не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:54 


13/02/17

317
Varanasi
Sender в сообщении #1235132 писал(а):
Не знаю, так ли это, но из приведённой формулировки
Aether в сообщении #1235026 писал(а):
$(\forall \varepsilon > 0) M(n)=O(n^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$

это никоим образом не следует.


Ну как же, очевидно, что речь идет о любых $n\in \mathbb N$, т.е. рассматривается весь натуральный ряд, иное ведь не оговорено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:02 


14/01/11
3037
Aether в сообщении #1235133 писал(а):
Ну как же, очевидно, что речь идет о любых $n\in \mathbb N$, т.е. рассматривается весь натуральный ряд, иное ведь не оговорено.

В таком случае приведите здесь определение $O$ большого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:06 


13/02/17

317
Varanasi
Someone в сообщении #1235128 писал(а):
Формула записана неправильно, поскольку написаны два квантора $\forall n$, причём, второй находится в области действия первого. Первый $\forall n$ нужно выбросить.

Уважаемый Someone
Если Вы имеете ввиду что-либо отличное от формулировки приведенной уважаемым Sender, то приведите пожалуйста свой вариант.

-- 21.07.2017, 16:11 --
Sender в сообщении #1235135 писал(а):
В таком случае приведите здесь определение $O$ большого.


Цитата:
$f $ является «O» большим от $g$ при $x\to x_0$, если существует такая константа $C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_{0}$ имеет место неравенство: $|f(x)| \leqslant C |g(x)|$


Непонятно тогда о какой окрестности идет речь в эквивалентной формулировке ГР, т.е. это соотношение выполняется только локально? Для другой окрестности будут свои $C$ и $\varepsilon$?

Как же тогда быть с C:
Sender в сообщении #1235075 писал(а):
Она и есть одинаковая для всех $n$... Она может зависеть только от $\varepsilon$.
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:18 


14/01/11
3037
Aether в сообщении #1235138 писал(а):
Непонятно тогда о какой окрестности идет речь в эквивалентной формулировке ГР.

Можно сказать, что в случае пределов функций натурального аргумента, т.е. последовательностей, речь идёт всегда об окрестности $+\infty.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:33 


13/02/17

317
Varanasi
Т.е. при фиксированном $\varepsilon$ $C$ может зависеть еще и от выбора $x_0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:37 


14/01/11
3037
Вообще, я чувствую, что мои попытки объяснения только вредят. Боюсь, вам таки придётся обратиться к учебнику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:48 


13/02/17

317
Varanasi
Sender в сообщении #1235144 писал(а):
Aether в сообщении #1235138 писал(а):
Непонятно тогда о какой окрестности идет речь в эквивалентной формулировке ГР.

Можно сказать, что в случае пределов функций натурального аргумента, т.е. последовательностей, речь идёт всегда об окрестности $+\infty.$

А у $+\infty$ разве определена окрестность и мне кажется в Вашей трактовке с $n_0$ рассматривается $n>n_0$? Что Вы имеете ввиду под окрестностью $+\infty$, размер окрестности или точку на бесконечности окрестность которой мы рассматриваем?

-- 21.07.2017, 17:04 --

Sender
Даже если Вы не ответите, всё-равно спасибо Вам за то, что не побоялись поделиться своим пониманием эквивалентной формулировки, я неоднократно просил это сделать здесь, но все почему-то или осторожничали, или ленились, или игнорировали вопрос по другим причинам. Все-таки хотелось бы разобраться с точкой n_0 и её окрестностью и зависит ли от выбора этой точки C при фиксированном $\varepsilon$? И с $O$ - включает ли оно модуль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Aether в сообщении #1235153 писал(а):
хотелось бы разобраться с точкой n_0 и её окрестностью
Здесь никто не говорил об окрестности точки $n_0$.

Aether в сообщении #1235153 писал(а):
ависит ли от выбора этой точки C при фиксированном $\varepsilon$?
Зависит.

Aether в сообщении #1235153 писал(а):
И с $O$ - включает ли оно модуль?
А Вы определение-то смотрели? Есть там модуль или нет? Или Вы только копи-паст исполнили и даже на результат не взглянули? Кстати, процитированное Вами определение неточное. Возьмите, например, "Курс математического анализа" Л. Д. Кудрявцева (том 1), и в § 8.2 посмотрите правильное определение.

И т. д. Столь много, что уже воспринимается как сплошной троллинг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 11:30 


13/02/17

317
Varanasi
Someone в сообщении #1235208 писал(а):
Здесь никто не говорил об окрестности точки $n_0$.


Вы хотите сказать, что я здесь никто? )))

Согласно определению O-большого я понял, что речь идет о справедливости неравенства в окрестности точки $x_0$($n_0$ в рассматриваемом случае), поскольку в определении x_0 является точкой прикосновения множества X ($N>n_0 $в данном случае), а также является предельной точкой этого множества (снизу, насколько я понял), то я и сделал вывод о том, что речь идет об окрестности этой точки, возможно конечно неверный.

Someone в сообщении #1235208 писал(а):
Зависит.

Спасибо.

Someone в сообщении #1235208 писал(а):
А Вы определение-то смотрели? Есть там модуль или нет? Или Вы только копи-паст исполнили и даже на результат не взглянули?


Да, получается, что только исполнил копипаст, там оказывается аж 2 модуля - с каждой стороны соотношения по одному ))).

Someone в сообщении #1235208 писал(а):
Кстати, процитированное Вами определение неточное. Возьмите, например, "Курс математического анализа" Л. Д. Кудрявцева (том 1), и в § 8.2 посмотрите правильное определение.


Спасибо, посмотрел.

Теперь, с Вашего позволения, несколько вопросов:

1). Согласны ли Вы с переформулировкой эквивалентной формулировки ГР, приведенной уважаемым Sender?
2). Поскольку Вы были возмущены разговором об окрестности точки $n_0$, то я так понимаю говорить об этой окрестности почему-то некорректно? Хотелось бы уточнить как правильно понимать эту окрестность из определения, применительно к данному случаю (применительно к эквивалентной формулировке ГР). Мы можем выбрать n_0 произвольным образом из множества $\mathbb N$, включая $\infty$, а также произвольно можем выбрать $\varepsilon$ и ГР
в этом и заключается, что существует для каждого такого выбора своя С, которая приводит правую и левую часть к необходимому соотношению? Но на какой окрестности или на каком интервале существует эта C или это неважно?

Не сочтите за троллинг, мне в этом и правда необходимо разобраться.
Заранее благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Aether в сообщении #1235256 писал(а):
Согласно определению O-большого я понял, что речь идет о справедливости неравенства в окрестности точки $x_0$($n_0$ в рассматриваемом случае)
Троллинг продолжается? Вы бы хоть на определение глянули — где там $x_0$ и где $n_0$. Я понимаю, что троллинг — святое дело, но зачем уж совсем полным идиотом прикидываться?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group