2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:20 


13/02/17

317
Varanasi
Sender в сообщении #1235119 писал(а):
Ну почти правильно, только у вас $n_0$ где-то по дороге потерялось. В принципе, можно обойтись и без него, если взять $C$ достаточно большим, но исходная формулировка этого не подразумевает.


Спасибо.
Так гипотеза Римана относится ко всем числам натурального ряда свободным от квадратов, поэтому и нужно рассматривать весь ряд, а не начиная с какого -то числа, каким бы ни было $C$, главное чтобы оно существовало и принадлежало $\mathbb R$. Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2087
Минск, Беларусь
Sonic86 в сообщении #1234956 писал(а):
Утверждение $(\forall \epsilon > 0)\left|\sum\limits_{n\leqslant x}\mu(n)\right|=O(x^{\frac{1}{2}+\epsilon})$ эквивалентно ГР
Там маленькое $o$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Aether в сообщении #1235076 писал(а):
Но Всё же спасибо Вам, благодаря Вам я пришел к такому пониманию:

$\forall \varepsilon>0, \forall n\in \mathbb N,  \exists n_0\in \mathbb{N},\exists C\in\mathbb{R}:\forall n>n_0\; |M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}.$

Но верно ли оно?
Формула записана неправильно, поскольку написаны два квантора $\forall n$, причём, второй находится в области действия первого. Первый $\forall n$ нужно выбросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:38 


13/02/17

317
Varanasi
Someone в сообщении #1235128 писал(а):
Формула записана неправильно, поскольку написаны два квантора $\forall n$, причём, второй находится в области действия первого. Первый $\forall n$ нужно выбросить.

Спасибо, с этим уже разобрался не без помощи ЗУ конечно.

-- 21.07.2017, 15:46 --

Кстати, почему в эквивалентной формулировке в википедии функция Мертенса не взята по модулю, а в расшифровке уважаемого Sender стоит модуль? Значит обозначение $O$ подразумевает в себе модуль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:49 


14/01/11
3019
Aether в сообщении #1235123 писал(а):
Так гипотеза Римана относится ко всем числам натурального ряда свободным от квадратов, поэтому и нужно рассматривать весь ряд, а не начиная с какого -то числа, каким бы ни было $C$, главное чтобы оно существовало и принадлежало $\mathbb R$. Разве не так?

Не знаю, так ли это, но из приведённой формулировки
Aether в сообщении #1235026 писал(а):
$(\forall \varepsilon > 0) M(n)=O(n^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$

это никоим образом не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 14:54 


13/02/17

317
Varanasi
Sender в сообщении #1235132 писал(а):
Не знаю, так ли это, но из приведённой формулировки
Aether в сообщении #1235026 писал(а):
$(\forall \varepsilon > 0) M(n)=O(n^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$

это никоим образом не следует.


Ну как же, очевидно, что речь идет о любых $n\in \mathbb N$, т.е. рассматривается весь натуральный ряд, иное ведь не оговорено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:02 


14/01/11
3019
Aether в сообщении #1235133 писал(а):
Ну как же, очевидно, что речь идет о любых $n\in \mathbb N$, т.е. рассматривается весь натуральный ряд, иное ведь не оговорено.

В таком случае приведите здесь определение $O$ большого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:06 


13/02/17

317
Varanasi
Someone в сообщении #1235128 писал(а):
Формула записана неправильно, поскольку написаны два квантора $\forall n$, причём, второй находится в области действия первого. Первый $\forall n$ нужно выбросить.

Уважаемый Someone
Если Вы имеете ввиду что-либо отличное от формулировки приведенной уважаемым Sender, то приведите пожалуйста свой вариант.

-- 21.07.2017, 16:11 --
Sender в сообщении #1235135 писал(а):
В таком случае приведите здесь определение $O$ большого.


Цитата:
$f $ является «O» большим от $g$ при $x\to x_0$, если существует такая константа $C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_{0}$ имеет место неравенство: $|f(x)| \leqslant C |g(x)|$


Непонятно тогда о какой окрестности идет речь в эквивалентной формулировке ГР, т.е. это соотношение выполняется только локально? Для другой окрестности будут свои $C$ и $\varepsilon$?

Как же тогда быть с C:
Sender в сообщении #1235075 писал(а):
Она и есть одинаковая для всех $n$... Она может зависеть только от $\varepsilon$.
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:18 


14/01/11
3019
Aether в сообщении #1235138 писал(а):
Непонятно тогда о какой окрестности идет речь в эквивалентной формулировке ГР.

Можно сказать, что в случае пределов функций натурального аргумента, т.е. последовательностей, речь идёт всегда об окрестности $+\infty.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:33 


13/02/17

317
Varanasi
Т.е. при фиксированном $\varepsilon$ $C$ может зависеть еще и от выбора $x_0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:37 


14/01/11
3019
Вообще, я чувствую, что мои попытки объяснения только вредят. Боюсь, вам таки придётся обратиться к учебнику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 15:48 


13/02/17

317
Varanasi
Sender в сообщении #1235144 писал(а):
Aether в сообщении #1235138 писал(а):
Непонятно тогда о какой окрестности идет речь в эквивалентной формулировке ГР.

Можно сказать, что в случае пределов функций натурального аргумента, т.е. последовательностей, речь идёт всегда об окрестности $+\infty.$

А у $+\infty$ разве определена окрестность и мне кажется в Вашей трактовке с $n_0$ рассматривается $n>n_0$? Что Вы имеете ввиду под окрестностью $+\infty$, размер окрестности или точку на бесконечности окрестность которой мы рассматриваем?

-- 21.07.2017, 17:04 --

Sender
Даже если Вы не ответите, всё-равно спасибо Вам за то, что не побоялись поделиться своим пониманием эквивалентной формулировки, я неоднократно просил это сделать здесь, но все почему-то или осторожничали, или ленились, или игнорировали вопрос по другим причинам. Все-таки хотелось бы разобраться с точкой n_0 и её окрестностью и зависит ли от выбора этой точки C при фиксированном $\varepsilon$? И с $O$ - включает ли оно модуль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.07.2017, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Aether в сообщении #1235153 писал(а):
хотелось бы разобраться с точкой n_0 и её окрестностью
Здесь никто не говорил об окрестности точки $n_0$.

Aether в сообщении #1235153 писал(а):
ависит ли от выбора этой точки C при фиксированном $\varepsilon$?
Зависит.

Aether в сообщении #1235153 писал(а):
И с $O$ - включает ли оно модуль?
А Вы определение-то смотрели? Есть там модуль или нет? Или Вы только копи-паст исполнили и даже на результат не взглянули? Кстати, процитированное Вами определение неточное. Возьмите, например, "Курс математического анализа" Л. Д. Кудрявцева (том 1), и в § 8.2 посмотрите правильное определение.

И т. д. Столь много, что уже воспринимается как сплошной троллинг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 11:30 


13/02/17

317
Varanasi
Someone в сообщении #1235208 писал(а):
Здесь никто не говорил об окрестности точки $n_0$.


Вы хотите сказать, что я здесь никто? )))

Согласно определению O-большого я понял, что речь идет о справедливости неравенства в окрестности точки $x_0$($n_0$ в рассматриваемом случае), поскольку в определении x_0 является точкой прикосновения множества X ($N>n_0 $в данном случае), а также является предельной точкой этого множества (снизу, насколько я понял), то я и сделал вывод о том, что речь идет об окрестности этой точки, возможно конечно неверный.

Someone в сообщении #1235208 писал(а):
Зависит.

Спасибо.

Someone в сообщении #1235208 писал(а):
А Вы определение-то смотрели? Есть там модуль или нет? Или Вы только копи-паст исполнили и даже на результат не взглянули?


Да, получается, что только исполнил копипаст, там оказывается аж 2 модуля - с каждой стороны соотношения по одному ))).

Someone в сообщении #1235208 писал(а):
Кстати, процитированное Вами определение неточное. Возьмите, например, "Курс математического анализа" Л. Д. Кудрявцева (том 1), и в § 8.2 посмотрите правильное определение.


Спасибо, посмотрел.

Теперь, с Вашего позволения, несколько вопросов:

1). Согласны ли Вы с переформулировкой эквивалентной формулировки ГР, приведенной уважаемым Sender?
2). Поскольку Вы были возмущены разговором об окрестности точки $n_0$, то я так понимаю говорить об этой окрестности почему-то некорректно? Хотелось бы уточнить как правильно понимать эту окрестность из определения, применительно к данному случаю (применительно к эквивалентной формулировке ГР). Мы можем выбрать n_0 произвольным образом из множества $\mathbb N$, включая $\infty$, а также произвольно можем выбрать $\varepsilon$ и ГР
в этом и заключается, что существует для каждого такого выбора своя С, которая приводит правую и левую часть к необходимому соотношению? Но на какой окрестности или на каком интервале существует эта C или это неважно?

Не сочтите за троллинг, мне в этом и правда необходимо разобраться.
Заранее благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Aether в сообщении #1235256 писал(а):
Согласно определению O-большого я понял, что речь идет о справедливости неравенства в окрестности точки $x_0$($n_0$ в рассматриваемом случае)
Троллинг продолжается? Вы бы хоть на определение глянули — где там $x_0$ и где $n_0$. Я понимаю, что троллинг — святое дело, но зачем уж совсем полным идиотом прикидываться?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group