2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
Aether, Вы нашли определение $O$-большого при $x\to x_0$.
Но Вам нужно не оно, а определение $O$-большого при $n\to\infty$.
Большинству людей это интуитивно понятно, и поэтому не подчёркивается специально.
$n_0$ тут ни при чём и с $x_0$ никак не связан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 15:24 


13/02/17

317
Varanasi
Mikhail_K в сообщении #1235272 писал(а):
Aether, Вы нашли определение $O$-большого при $x\to x_0$.
Но Вам нужно не оно, а определение $O$-большого при $n\to\infty$.
Большинству людей это интуитивно понятно, и поэтому не подчёркивается специально.
$n_0$ тут ни при чём и с $x_0$ никак не связан.


Спасибо, в указанном уважаемым Someone параграфе книги Кудрявцева Л.Д. такого определения я действительно не нашел, а интуиция меня видимо подводит в данном случае. Вот я и не пойму, что такое $ n_0$ в приведенной уважаемым Sender трактовке и как оно соотносится с определением O-большого.

Someone в сообщении #1235268 писал(а):
Троллинг продолжается? Вы бы хоть на определение глянули — где там $x_0$ и где $n_0$. Я понимаю, что троллинг — святое дело, но зачем уж совсем полным идиотом прикидываться?


Прошу прощения за то, что увел тему в сторону своего непонимания и бесплодно отнял время участников. Если мне не помогли разобраться ни учебники, ни объяснения стольких ЗУ, то мой случай видимо безнадежный. Спасибо, всем попытавшимся мне помочь )

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 15:32 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Aether
Смысл $n_0$ в том, что для любого $\varepsilon>0$ и любого $n_0\in\mathbb N$ найдётся такое $C$, что для всех натуральных $n\geqslant n_0$ будет выполнено неравенство. Т.е. не для всех натуральных $n$, а лишь начиная с $n_0$. И по моему это достаточно очевидно сразу из правильной записи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 16:15 


13/02/17

317
Varanasi
Dmitriy40
Спасибо, изначально я так и понимал, только говорил о том, что $n_0$ можно взять равным 1, чтобы рассмотреть все значения натурального ряда, но меня отправили к определению O-большого и тут у меня началась путаница, поскольку определение использует $x_0$ , которое я не знаю куда прилепить и в нем нет $n_0$. И ещё, я с чего-то взял(видимо опять интуитивно), что если константа $C$ существует для всех $n>1$, то существует и константа для любого подмножества $\mathbb N$, элементы которого являются упорядоченными членами натурального ряда больше произвольно взятого $n_0\in\mathbb N$ и соответственно, чтобы сформулировать ГР вовсе не обязательно определять существование С для произвольного $n_0\in\mathbb N$ и вообще использовать это понятие, а достаточно сказать, что С существует для всего множества $\mathbb N$, но вероятно я ошибся, затем стал путаться в определениях O-большого и совсем приплыл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Aether в сообщении #1235277 писал(а):
в указанном уважаемым Someone параграфе книги Кудрявцева Л.Д. такого определения я действительно не нашел
Там есть аккуратное определение $O$-большого для функций. Попробуйте найти отличие определения Кудрявцева от того, которое процитировали Вы.

Если же мы говорим не о функциях, а о последовательностях (которые на самом деле тоже функции, определённые на множестве натуральных чисел), то роль $x_0$ играет $\infty$, а $n_0$ задаёт проколотую окрестность точки $x_0=\infty$ посредством неравенства $n>n_0$ (или $n\geqslant n_0$; в случае нестрогого неравенства натуральное число $n_0$ должно быть на $1$ больше, чем в случае строгого).

Aether в сообщении #1235256 писал(а):
Да, получается, что только исполнил копипаст, там оказывается аж 2 модуля - с каждой стороны соотношения по одному ))).
И вот после этого я должен Вам поверить, что Вы действительно хотите что-то выяснить, а не занимаетесь троллингом? А это ведь не единственный случай у Вас в этой теме. А если действительно хотите разобраться, то изучайте учебник и решайте задачи. На форуме Вас не научат. Не потому, что не хотят, а потому, что не смогут переписать сюда учебник с задачником, да ещё и проэкзаменовать.

Dmitriy40 в сообщении #1235278 писал(а):
для любого $\varepsilon>0$ и любого $n_0\in\mathbb N$ найдётся такое $C$
Неверно. Не "для любого $n_0$", а "существует $n_0$".

Aether в сообщении #1235285 писал(а):
только говорил о том, что $n_0$ можно взять равным 1
Вообще говоря, нельзя. Потому что при $n_0$ стоит квантор $\exists$, а не $\forall$. То есть, утверждается, что мы можем найти подходящее $n_0$, но не утверждается, что можно взять любое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 17:15 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Aether в сообщении #1235285 писал(а):
И ещё, я с чего-то взял(видимо опять интуитивно), что если константа $C$ существует для всех $n>1$, то существует и константа для любого подмножества $\mathbb N$, элементы которого являются упорядоченными членами натурального ряда больше произвольно взятого $n_0\in\mathbb N$
Это разумеется верно. А вот в обратную сторону (если верно для любого $n>n_0$, то верно и для $n>0$) в общем случае это не работает, функция слева вполне может иметь особенности при $n<n_0$, не покрываемые никаким выбором $C \in \mathbb R$. Ну например $f(n)=\frac{n}{\sqrt{|n-5|}}$, при $n=5$ не существует $C<\infty$ такой чтобы выполнялось $|f(n)|\leqslant |Cn^{\frac{1}{2}+\varepsilon}|, \varepsilon>0$. Потому и фиксируют некоторое значение $n_0$, начиная (или после) с которого функция ведёт себя "хорошо" (в любом желаемом смысле). Для многих функций $n_0=1$.
Как именно обстоят дела с гипотезой Римана в этом смысле я не смотрел.
Только ещё раз обратите внимание, что $n_0$ - это не точка где определяется (не)верность ГР, а лишь нижняя граница, выше которой для всех $n$ как раз и формулируется неравенство.

Someone в сообщении #1235291 писал(а):
Неверно. Не "для любого $n_0$", а "существует $n_0$".
Спасибо, действительно, тут я ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Dmitriy40 в сообщении #1235296 писал(а):
Потому и фиксируют некоторое значение $n_0$, начиная (или после) с которого функция ведёт себя "хорошо" (в любом желаемом смысле).
Увеличение $n_0$, вообще говоря, позволяет уменьшить константу $C$. Что далеко не всегда бесполезно.

Ещё одна причина — в записи $b_n=O(a_n)$ (при $n\to\infty$) последовательность $a_n$ может обращаться в $0$ в некотором конечном множестве точек, и тогда эти точки нужно исключить, выбрав $n_0$ достаточно большим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 17:56 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва

(Someone)

Someone
Это я помню, даже хотел такое же написать (включая вопрос о пределе минимума $C$ при $n_0 \to \infty$), но потом стёр чтобы не уводить товарища в сторону.
Да и с квантором для $n_0$ ошибся потому что думал в понятиях сложности алгоритмов, а там $n_0$ часто выбирают сами, не просто существует, а вполне конкретное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 18:08 


13/02/17

317
Varanasi
Someone в сообщении #1235291 писал(а):
Попробуйте найти отличие определения Кудрявцева от того, которое процитировали
Вы.


Вероятно Кудрявцев дает более конкретное определение функции, позволяющее рассматривать и последовательности. Также он уточняет смысл $x\to x_0$.

Someone в сообщении #1235291 писал(а):
Если же мы говорим не о функциях, а о последовательностях (которые на самом деле тоже функции, определённые на множестве натуральных чисел), то роль $x_0$ играет $\infty$, а $n_0$ задаёт проколотую окрестность точки $x_0=\infty$ посредством неравенства $n>n_0$ (или $n\geqslant n_0$; в случае нестрогого неравенства натуральное число $n_0$ должно быть на $1$ больше, чем в случае строгого).


Спасибо.

Someone в сообщении #1235291 писал(а):
Вообще говоря, нельзя. Потому что при $n_0$ стоит квантор $\exists$, а не $\forall$. То есть, утверждается, что мы можем найти подходящее $n_0$, но не утверждается, что можно взять любое.


Нельзя согласно приведенному определению в котором при $n_0$ стоит квантор $\exists$, а не $\forall$. А вообще говоря? Если мы не рассмотрим случай $n>1$, то и не рассмотрим всего натурального ряда, относительно которого и формулируется ГР, а соответственно это будет и не гипотеза Римана вовсе, разве нет?

-- 22.07.2017, 19:10 --

Dmitriy40 в сообщении #1235296 писал(а):
А вот в обратную сторону (если верно для любого $n>n_0$, то верно и для $n>0$) в общем случае это не работает, функция слева вполне может иметь особенности при $n<n_0$, не покрываемые никаким выбором $C \in \mathbb R$.

Dmitriy40 в сообщении #1235296 писал(а):
Только ещё раз обратите внимание, что $n_0$ - это не точка где определяется (не)верность ГР, а лишь нижняя граница, выше которой для всех $n$ как раз и формулируется неравенство.

Да, спасибо, всё это я прекрасно понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.07.2017, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Aether в сообщении #1235312 писал(а):
Вероятно Кудрявцев дает более конкретное определение функции, позволяющее рассматривать и последовательности. Также он уточняет смысл $x\to x_0$.
И т.д. Ну, не хотите разбираться — дело ваше.

-- Сб июл 22, 2017 20:13:57 --

(Dmitriy40)

Dmitriy40 в сообщении #1235309 писал(а):
стёр чтобы не уводить товарища в сторону
Хорошо уже видно, что время на него тратить бессмысленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: $O$-символика (из темы "Гипотеза Римана")
Сообщение23.07.2017, 14:33 
Заслуженный участник


08/04/08
8560

(Droog_Andrey)

Droog_Andrey в сообщении #1235127 писал(а):
Там маленькое $o$.
Спасибо, поправил.

А простите, какая разница?
$o(n^{a+\epsilon})=O(n^{a+\epsilon})$, но
$O(n^{a+\epsilon})=o(n^{a+2\epsilon})$, а так как $\epslion>0$ сколь угодно мало, то и $2\epsilon$ сколь угодно мало.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group