$O$-символика (из темы "Гипотеза Римана")

[Aether]

Sender в сообщении #1235119 писал(а):

Ну почти правильно, только у вас $n_0$ где-то по дороге потерялось. В принципе, можно обойтись и без него, если взять $C$ достаточно большим, но исходная формулировка этого не подразумевает.

Спасибо.
Так гипотеза Римана относится ко всем числам натурального ряда свободным от квадратов, поэтому и нужно рассматривать весь ряд, а не начиная с какого -то числа, каким бы ни было $C$, главное чтобы оно существовало и принадлежало $\mathbb R$. Разве не так?

[Droog_Andrey]

Sonic86 в сообщении #1234956 писал(а):

Утверждение $(\forall \epsilon > 0)\left|\sum\limits_{n\leqslant x}\mu(n)\right|=O(x^{\frac{1}{2}+\epsilon})$ эквивалентно ГР

Там маленькое $o$.

[Someone]

Aether в сообщении #1235076 писал(а):

Но Всё же спасибо Вам, благодаря Вам я пришел к такому пониманию:

$\forall \varepsilon>0, \forall n\in \mathbb N, \exists n_0\in \mathbb{N},\exists C\in\mathbb{R}:\forall n>n_0\; |M(n)|\leqslant C n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}.$

Но верно ли оно?

Формула записана неправильно, поскольку написаны два квантора $\forall n$, причём, второй находится в области действия первого. Первый $\forall n$ нужно выбросить.

[Aether]

Someone в сообщении #1235128 писал(а):

Формула записана неправильно, поскольку написаны два квантора $\forall n$, причём, второй находится в области действия первого. Первый $\forall n$ нужно выбросить.

Спасибо, с этим уже разобрался не без помощи ЗУ конечно.

-- 21.07.2017, 15:46 --

Кстати, почему в эквивалентной формулировке в википедии функция Мертенса не взята по модулю, а в расшифровке уважаемого Sender стоит модуль? Значит обозначение $O$ подразумевает в себе модуль?

[Sender]

Aether в сообщении #1235123 писал(а):

Так гипотеза Римана относится ко всем числам натурального ряда свободным от квадратов, поэтому и нужно рассматривать весь ряд, а не начиная с какого -то числа, каким бы ни было $C$, главное чтобы оно существовало и принадлежало $\mathbb R$. Разве не так?

Не знаю, так ли это, но из приведённой формулировки

Aether в сообщении #1235026 писал(а):

$(\forall \varepsilon > 0) M(n)=O(n^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$

это никоим образом не следует.

[Aether]

Sender в сообщении #1235132 писал(а):

Не знаю, так ли это, но из приведённой формулировки

Aether в сообщении #1235026 писал(а):

$(\forall \varepsilon > 0) M(n)=O(n^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$

это никоим образом не следует.

Ну как же, очевидно, что речь идет о любых $n\in \mathbb N$, т.е. рассматривается весь натуральный ряд, иное ведь не оговорено.

[Sender]

Aether в сообщении #1235133 писал(а):

Ну как же, очевидно, что речь идет о любых $n\in \mathbb N$, т.е. рассматривается весь натуральный ряд, иное ведь не оговорено.

В таком случае приведите здесь определение $O$ большого.

[Aether]

Someone в сообщении #1235128 писал(а):

Формула записана неправильно, поскольку написаны два квантора $\forall n$, причём, второй находится в области действия первого. Первый $\forall n$ нужно выбросить.

Уважаемый Someone
Если Вы имеете ввиду что-либо отличное от формулировки приведенной уважаемым Sender, то приведите пожалуйста свой вариант.

-- 21.07.2017, 16:11 --

Sender в сообщении #1235135 писал(а):

В таком случае приведите здесь определение $O$ большого.

Цитата:

$f $ является «O» большим от $g$ при $x\to x_0$, если существует такая константа $C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_{0}$ имеет место неравенство: $|f(x)| \leqslant C |g(x)|$

Непонятно тогда о какой окрестности идет речь в эквивалентной формулировке ГР, т.е. это соотношение выполняется только локально? Для другой окрестности будут свои $C$ и $\varepsilon$?

Как же тогда быть с C:

Sender в сообщении #1235075 писал(а):

Она и есть одинаковая для всех $n$... Она может зависеть только от $\varepsilon$.

?

[Sender]

Aether в сообщении #1235138 писал(а):

Непонятно тогда о какой окрестности идет речь в эквивалентной формулировке ГР.

Можно сказать, что в случае пределов функций натурального аргумента, т.е. последовательностей, речь идёт всегда об окрестности $+\infty.$

[Aether]

Т.е. при фиксированном $\varepsilon$ $C$ может зависеть еще и от выбора $x_0$?

[Sender]

Вообще, я чувствую, что мои попытки объяснения только вредят. Боюсь, вам таки придётся обратиться к учебнику.

[Aether]

Sender в сообщении #1235144 писал(а):

Aether в сообщении #1235138 писал(а):

Непонятно тогда о какой окрестности идет речь в эквивалентной формулировке ГР.

Можно сказать, что в случае пределов функций натурального аргумента, т.е. последовательностей, речь идёт всегда об окрестности $+\infty.$

А у $+\infty$ разве определена окрестность и мне кажется в Вашей трактовке с $n_0$ рассматривается $n>n_0$? Что Вы имеете ввиду под окрестностью $+\infty$, размер окрестности или точку на бесконечности окрестность которой мы рассматриваем?

-- 21.07.2017, 17:04 --

Sender
Даже если Вы не ответите, всё-равно спасибо Вам за то, что не побоялись поделиться своим пониманием эквивалентной формулировки, я неоднократно просил это сделать здесь, но все почему-то или осторожничали, или ленились, или игнорировали вопрос по другим причинам. Все-таки хотелось бы разобраться с точкой n_0 и её окрестностью и зависит ли от выбора этой точки C при фиксированном $\varepsilon$? И с $O$ - включает ли оно модуль?

[Someone]

Aether в сообщении #1235153 писал(а):

хотелось бы разобраться с точкой n_0 и её окрестностью

Здесь никто не говорил об окрестности точки $n_0$.

Aether в сообщении #1235153 писал(а):

ависит ли от выбора этой точки C при фиксированном $\varepsilon$?

Зависит.

Aether в сообщении #1235153 писал(а):

И с $O$ - включает ли оно модуль?

А Вы определение-то смотрели? Есть там модуль или нет? Или Вы только копи-паст исполнили и даже на результат не взглянули? Кстати, процитированное Вами определение неточное. Возьмите, например, "Курс математического анализа" Л. Д. Кудрявцева (том 1), и в § 8.2 посмотрите правильное определение.

И т. д. Столь много, что уже воспринимается как сплошной троллинг.

[Aether]

Someone в сообщении #1235208 писал(а):

Здесь никто не говорил об окрестности точки $n_0$.

Вы хотите сказать, что я здесь никто? )))

Согласно определению O-большого я понял, что речь идет о справедливости неравенства в окрестности точки $x_0$($n_0$ в рассматриваемом случае), поскольку в определении x_0 является точкой прикосновения множества X ($N>n_0 $в данном случае), а также является предельной точкой этого множества (снизу, насколько я понял), то я и сделал вывод о том, что речь идет об окрестности этой точки, возможно конечно неверный.

Someone в сообщении #1235208 писал(а):

Зависит.

Спасибо.

Someone в сообщении #1235208 писал(а):

А Вы определение-то смотрели? Есть там модуль или нет? Или Вы только копи-паст исполнили и даже на результат не взглянули?

Да, получается, что только исполнил копипаст, там оказывается аж 2 модуля - с каждой стороны соотношения по одному ))).

Someone в сообщении #1235208 писал(а):

Кстати, процитированное Вами определение неточное. Возьмите, например, "Курс математического анализа" Л. Д. Кудрявцева (том 1), и в § 8.2 посмотрите правильное определение.

Спасибо, посмотрел.

Теперь, с Вашего позволения, несколько вопросов:

1). Согласны ли Вы с переформулировкой эквивалентной формулировки ГР, приведенной уважаемым Sender?
2). Поскольку Вы были возмущены разговором об окрестности точки $n_0$, то я так понимаю говорить об этой окрестности почему-то некорректно? Хотелось бы уточнить как правильно понимать эту окрестность из определения, применительно к данному случаю (применительно к эквивалентной формулировке ГР). Мы можем выбрать n_0 произвольным образом из множества $\mathbb N$, включая $\infty$, а также произвольно можем выбрать $\varepsilon$ и ГР
в этом и заключается, что существует для каждого такого выбора своя С, которая приводит правую и левую часть к необходимому соотношению? Но на какой окрестности или на каком интервале существует эта C или это неважно?

Не сочтите за троллинг, мне в этом и правда необходимо разобраться.
Заранее благодарю.

[Someone]

Aether в сообщении #1235256 писал(а):

Согласно определению O-большого я понял, что речь идет о справедливости неравенства в окрестности точки $x_0$($n_0$ в рассматриваемом случае)

Троллинг продолжается? Вы бы хоть на определение глянули — где там $x_0$ и где $n_0$. Я понимаю, что троллинг — святое дело, но зачем уж совсем полным идиотом прикидываться?