Меня видимо обучили неразумно. При первом же взгляде на интеграл в голову пришли несколько стандартных приёмов, в том числе и обсуждаемых два.
Способ
ewertа
формально не требует разделения на случаи и по сути равнозначен подстановке
, которая вырисовывается после двукратного подведения под знак дифференциала.
В способе
Brukvalubа подстановка попроще, но сразу требует внимательности при занесении t под корень, что порождает два случая. Однако как уже отметил
Jnrty разницы в результатах для этих случаев нет.
В способе
ewertа, если стоять на позициях, что интеграл это крючочек, можно и не заметить, что независимо от способа решения разделение на случаи всё равно есть - функция в нуле не определена. В способе
Brukvalubа ... хотел написать, что не заметить нельзя, но спохватился - можно ведь не заметить и не замечают, а ответ всё-таки верный получается. На оценке преподавателем это может сказаться, а может и не сказаться - либо сам не заметит, либо заметит, но простит из-за массовости такого недочёта. А вот к способу
ewertа придраться, даже если захочешь - не сможешь.
Вот и получается, что у первого способ безопаснее, а у второго честнее.
Вот и стою теперь в позе Буридана - стреляться мне или нет?
или 
. Но -- лишь только если не проходят более простые замены -- степенного характера.
![\[
\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x^2 + 1} }}} = \;\left| {x = \frac{1}{t}\;dx = - \frac{{dt}}{{t^2 }}} \right|\; = - \int {\frac{{dt}}{{t\sqrt {\frac{1}{{t^2 }} + 1} }}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{ - \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {t^2 + 1} }}\;,\;t > 0} } \\
{\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {t^2 + 1} }}\;,\;t < 0} } \\
\end{array} = } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{\ln \left| {\frac{x}{{1 + \sqrt {x^2 + 1} }}} \right| + C_1 ,\;x > 0} \\
{\ln \left| {\frac{{1 - \sqrt {x^2 + 1} }}{x}} \right| + C_2 ,\;x < 0} \\
\end{array}} \right.
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/9/229fe088a36a80a1de3c8e06a01bfeee82.png "\[
\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x^2 + 1} }}} = \;\left| {x = \frac{1}{t}\;dx = - \frac{{dt}}{{t^2 }}} \right|\; = - \int {\frac{{dt}}{{t\sqrt {\frac{1}{{t^2 }} + 1} }}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{ - \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {t^2 + 1} }}\;,\;t > 0} } \\
{\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {t^2 + 1} }}\;,\;t < 0} } \\
\end{array} = } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{\ln \left| {\frac{x}{{1 + \sqrt {x^2 + 1} }}} \right| + C_1 ,\;x > 0} \\
{\ln \left| {\frac{{1 - \sqrt {x^2 + 1} }}{x}} \right| + C_2 ,\;x < 0} \\
\end{array}} \right.
\]")
