2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите решить неопределенный интеграл. (Разборки)
Сообщение28.05.2008, 20:56 
Аватара пользователя


10/03/08
82
$\int \frac {{dx}} {x\sqrt{{x^2}+1}}$

Формула исправлена. убраны лишние '\' : (\x -> x, \{ -> { ) // нг

 !  нг:
Замечание за дублирование темы.

 Профиль  
                  
 
 Помогите решить неопределенный интеграл.
Сообщение28.05.2008, 21:06 
Аватара пользователя


10/03/08
82
Изображение Заранее благодарен.
P.S. Модераторы извините что не написал тегом Math, я тыркал тыркал, че то у меня так и не получилось написать этот интеграл...:(

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить неопределенный интеграл.
Сообщение28.05.2008, 21:14 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Banks писал(а):
я тыркал тыркал, че то у меня так и не получилось написать этот интеграл...:(


$$
\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}
$$

Код:
$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2008, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Замена\[
t = \frac{1}{x}
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2008, 22:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Brukvalub писал(а):
Замена\[
t = \frac{1}{x}
\]

А вот и нет. Надо домножить и разделить на икс, а потом внести тот (верхний) икс под знак дифференциала.

Не забывайте о "педагогычности"!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2008, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ewert писал(а):
А вот и нет. Надо домножить и разделить на икс, а потом внести тот (верхний) икс под знак дифференциала.

Не забывайте о "педагогычности"!
Я-то не забываю, а вот вы в порыве отомстить мне за указанные мной ваши на форуме многочисленные ляпы, давно обо всем забыли и пустились "во все тяжкие", пытаясь мелочно "укусить" и забывая при этом, что мы здесь не просто "тусуемся", а учим детей.
Так вот, будьте любезны и ответьте теперь за свои слова - объясните, почему нельзя применять указанную мной стандартную для такого вида интегралов замену?
И не прячтесь опять, как только нужно отвечать за свои слова - ведь иначе Banks и впрямь может подумать, что я предложил ему неверную замену.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2008, 22:54 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
 !  Jnrty:
Banks писал(а):
Модераторы извините что не написал тегом Math, я тыркал тыркал, че то у меня так и не получилось написать этот интеграл...


Плохо старались. Почитайте внимательно http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183. Можно потренироваться в разделе "Тестирование".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2008, 22:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Brukvalub писал(а):
Так вот, будьте любезны и ответьте теперь за свои слова - объясните, почему нельзя применять указанную мной стандартную для такого вида интегралов замену?

Охотно объясняю; это элементарно. Потому, что Ваша "стандартная для такого вида интегралов" замена не меняет типа интеграла.

В то время как для именно такого типа интегралов действительно стандартное (и это уже без шуток) внесение под знак дифференциала практически моментально превращает его в рациональную дробь, а это -- святое.

Дальнейшие объяснения нужны, или понятно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2008, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18010
Москва
ewert писал(а):
Дальнейшие объяснения нужны, или понятно?


Мне непонятно. Подстановка Brukvalubа превращает данный интеграл в табличный. Там только за знаками нужно аккуратно проследить (при $x>0$ и при $x<0$).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2008, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
ewert писал(а):
Потому, что Ваша "стандартная для такого вида интегралов" замена не меняет типа интеграла.

Зато делает интеграл табличным.

Можно ещё заметить, что это дифференциальный бином, и сразу применить соответствующую стандартную замену $x^2+1=t^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2008, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Специально для неграмотных показываю:
\[
\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x^2  + 1} }}}  = \;\left| {x = \frac{1}{t}\;dx =  - \frac{{dt}}{{t^2 }}} \right|\; =  - \int {\frac{{dt}}{{t\sqrt {\frac{1}{{t^2 }} + 1} }}}  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   { - \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {t^2  + 1} }}\;,\;t > 0} }  \\
   {\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {t^2  + 1} }}\;,\;t < 0} }  \\
\end{array} = } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\ln \left| {\frac{x}{{1 + \sqrt {x^2  + 1} }}} \right| + C_1 ,\;x > 0}  \\
   {\ln \left| {\frac{{1 - \sqrt {x^2  + 1} }}{x}} \right| + C_2 ,\;x < 0}  \\
\end{array}} \right.
\]
Теперь укажите мне ошибку в методе. Где там тип интеграла не поменялся,и что мешает так интегрировать.
А, заодно, возьмите занесением под знак дифференциала № 1856 из Демидовича. Сразу скажу, что указанной мной подстановкой он берется.
Забыл, вы, небось, что такое "Демидович", и не слыхали. Ладно, не берите...

Добавлено спустя 5 минут 51 секунду:

Пока пыхтел и всю свою тривиальщину набирал, Someone и RIP тоже удивление высказали. Вот тут для ewertа самое время прятаться и настало! :D :D :D Когда становится "горячо" и нужно за свой бред отвечать, он завсегда "в тинку" нырнуть и отсидеться предпочитает. Посмотрим, отступит он то своего правила теперь, или нет...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2008, 23:39 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
Там ещё можно в варианте для $x>0$ домножить числитель и знаменатель дроби на $1-\sqrt{x^2+1}$. Получится такое же выражение, как в случае $x<0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2008, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Jnrty писал(а):
Там ещё можно в варианте для $x>0$ домножить числитель и знаменатель дроби на $1-\sqrt{x^2+1}$. Получится такое же выражение, как в случае $x<0$.
Согласен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2008, 00:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
RIP писал(а):
ewert писал(а):
Потому, что Ваша "стандартная для такого вида интегралов" замена не меняет типа интеграла.

Зато делает интеграл табличным.

Можно ещё заметить, что это дифференциальный бином, и сразу применить соответствующую стандартную замену $x^2+1=t^2$.

Вот именно. Именно эта замена и является стандартной -- в данном конкретном случае. И дифференциальный бином тут не при чём, он нужен для менее тривиальных случаев.

А таблицы интегралов бывают разные, знаете ли. Возможно, кто-то заставляет студентов зубрить наизусть всего Прудникова. Все три тома. Но, надеюсь, хоть чересстрочно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2008, 06:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Так где же , ewert, ответ за свои слова:
ewert писал(а):
Brukvalub писал(а):
Замена\[ t = \frac{1}{x} \]

А вот и нет.

Ответьте, почему, как вы пишете, в этом интеграле нельзя применять указанную мной подстановку и где в приведенных мной вычислениях тем самым содержится ошибка? Или вы просто так болтаете, а ответить поэтому за свои слова не можете?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group