Максвелловская релаксация и нарушение СТО

[Munin]

wrest в сообщении #1230042 писал(а):

То есть в нулевой момент меняется удельная проводимость шара и он становится из диэлектрика проводящим?

Например, фазовый переход. Лёд изолятор, вода проводник.

-- 27.06.2017 22:39:03 --

amon
Спасибо за подсказку!

-- 27.06.2017 22:39:51 --

А, уже вижу, что мои первоначальные мысли глупые :-)

-- 27.06.2017 22:49:45 --

Грубо говоря, "на пальцах", происходит следующее:
1) в электростатическом режиме $\nabla_3\mathbf{E}=4\pi\rho$ приводит к кулоновскому полю $\sim 1/r^2$ вокруг заряда;
2) когда заряд помещают на плоскость и "включают" проводимость, то начинает течь ток. так как он привязан к плоскости, и к электрическому полю, то в гальвано-статическом режиме (постоянный ток) $\nabla_2\mathbf{E}=4\pi\rho$ и поле вокруг заряда $\sim 1/r$;
3) в целом картина получается такая: при включении тока, вокруг исходного заряда по плоскости расходится "волна" "запирания" поля в плоскости: внутри круга $\nabla_2,$ вне круга $\nabla_3,$ на гребне волны начинается ток - подобно телеграфному уравнению со "ступенькой по времени". Скорость волны $\leqslant c.$
Точное решение похоже в цилиндрической системе координат и нерешаемо. Оценки "по порядку величины" можно сделать.

[amon]

Munin в сообщении #1230056 писал(а):

Точное решение похоже в цилиндрической системе координат и нерешаемо. Оценки "по порядку величины" можно сделать.

Так Вы уже практически всё решили. Уравнения линейные, а заряд (начальный) - $\delta$-функция, а кто-то про функции Грина рассказывал, а они считаются через...

[Munin]

Нет, линейности я там не вижу.

-- 28.06.2017 00:17:55 --

amon в сообщении #1230060 писал(а):

Уравнения линейные

Вот это, кстати, у меня было такое заблуждение раньше, потом разобрался. Что мол, раз уравнения Максвелла линейные, то и всё будет линейным. Нифига. Если есть какие-то гранусловия, а всякие проводники, границы сред, материальные коэффициенты - это они и есть; - то перед нами система со связями. А связи могут сделать из линейной задачи нелинейную. Даже простейшая электростатика с проводниками - требует считать наведённые заряды.

[amon]

Munin в сообщении #1230075 писал(а):

Если есть какие-то гранусловия

Так ведь нет в этой задаче гран. условий - плоскость бесконечная, а все связи линейны.

-- 28.06.2017, 00:35 --

Точнее, есть линейное же условие - всё убывает на бесконечности.

[Munin]

Одна проводящая плоскость чего стоит.

[wrest]

Парселл об этом пишет так (конец 4-й главы)

Цитата:

По-видимому дело в том, что для быстро протекающих явлений мы вообще не можем пользоваться значением удельного сопротивления для постоянного тока $\rho$. Тем самым ставятся под сомнение всякие количественные оценки времени релаксации.
Существует, однако, еще более глубокое основание подозревать, что история не окончена. Это -- тот любопытный факт, что наше время электрической релаксации $\tau = \rho /4\pi$, по-видимому, не зависит от размеров участвующей в релаксации области. Все это прекрасно, покуда область достаточно мала, но если при некотором конечном времени релаксации $\tau$ наша область хотя бы в одном направлении больше произведения $\tau$ на скорость света, тогда релаксация должна означать распространение перестройки зарядов со скоростью, большей $c$. Это несовместимо с теорией относительности. Таким образом, сразу видно, что если поведение электрических зарядов и полей должно согласоваться с постулатами специальной теории относительности, то в картину следует включить кое-что новое. Это и будет темой следующих глав.

Но в следующих главах конкретно к вопросу релаксации Парселл не возвращается.

Таким образом выходит, что вы воспользовались нерелятивистской наукой, хоть и отрицаете это.

К сожалению, у Парселла нет ответов на задачи и вопросы для обсуждения, а вопросы там как раз те, что хочется задать. Например вопрос 4.19, задача 5.8 и вопрос 5.10 имеют непосредственное отношение к этой вашей теме.

[warlock66613]

wrest в сообщении #1230122 писал(а):

релаксация должна означать распространение перестройки зарядов со скоростью, большей $c$. Это несовместимо с теорией относительности

Ну вот этот-то вывод ("это несовместимо с теорией относительности") неверен же. Возьмём магнитное поле и множество магнитных стрелок в нём, первоначально закреплённых. Если стрелки в какой-то момент отпустить, то получим "распространение перестройки стрелок с бесконечно большой скоростью", которое однако же явно не противоречит СТО.

[wrest]

Есть еще мысль что $\tau$ можно вычислять по-другому -- как произведение емкости шара на его сопротивление, а и в емкость и в сопротивление войдет размер (радиус шара). Емкость шара с радиусом будет расти линейно, сопротивление (между центром и поверхностью) тоже будет расти (но не уверен что линейно). Так что и время релаксации будет расти по крайней мере пропорционально радиусу шара, а может и быстрее.

-- 28.06.2017, 11:41 --

warlock66613 в сообщении #1230128 писал(а):

Если стрелки в какой-то момент отпустить, то получим "распространение перестройки стрелок с бесконечно большой скоростью",

Очевидно, имеет место терминологическая неясность "распространения".

[Munin]

wrest в сообщении #1230122 писал(а):

К сожалению, у Парселла нет ответов на задачи и вопросы для обсуждения

Это значит, что читатель должен самостоятельно решить задачу правильно, и убедиться, что решил правильно.

[wrest]

Munin в сообщении #1230160 писал(а):

Это значит, что читатель должен самостоятельно решить задачу правильно, и убедиться, что решил правильно.

Конечно. Я, кстати, нашел решения (как я понял -- их написал сам Парселл).

(Оффтоп)

Решение задачи 5.10 меня разочаровало. Суть ее такая -- внезапно из ниоткуда возник заряд, что будет? Ответ: или из заряда мгновенно в бесконечность станут торчать линии напряженности что противоречит СТО т.к. вся Вселенная мгновенно узнает о событии, или не выполнится теорема Гаусса если линии будут расти с конечной скоростью.
Ну так это и так понятно, а я ожидал что разрушится Вселенная обсуждаются какие-нибудь бесконечности, а не просто "интеграл по сфере до которой не доросли линии будет нулевой, хотя сфера и содержит заряд".

[amon]

Munin в сообщении #1230094 писал(а):

Одна проводящая плоскость чего стоит.

У нас Вы можете приобрести бесконечную проводящую плоскость по рекордно низкой цене - два тугрика за квадратную версту. Кроме того, Вам, как заслуженному участнику предоставляется любая конечная скидка! Плоскость заряжается за счет заведения!

Так вот, о плоскости. Решим сначала задачу в рамках электростатики. Опять танцуем от

$$ \begin{align} &\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{j}=0\\ &\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E} \end{align} $$

только теперь проводимости, плотности и дивергенции двумерные (всё происходит в плоскости $XY$), и от $\mathbf{E}$ нас интересуют только две компоненты $E_x$ и $E_y$. Посему введем электростатический потенциал $\varphi$ и, поскольку на бесконечности все убывает, воспользуемся функцией Грина для $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho$, сиречь, потенциалом точечного заряда. Тогда потенциал в плоскости будет

$$ \varphi(\mathbf{r})=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx'dy'\frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} $$

Напуская на все это преобразование Фурье по координатам получим

$$ \begin{align} \frac{d^2\rho(k,t)}{dt^2}+\sigma k^2\varphi(k,t)&=0\\ \varphi(k,t)=\frac{2\pi}{\varepsilon k}\rho(k,t)& \end{align} $$

После чего всё благополучно решается в Фурье-компонентах, и получается $\rho=e^{-\frac{2\pi\sigma k}{\varepsilon}t}$. Теперь обратным Фурье имеем искомое (там по дороге встретится противный интеграл вида $\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{1}{(vt+ir\cos(\varphi))^2}d\varphi$, где за $v$ обозначено $\frac{2\pi\sigma}{\varepsilon}$). Итого, ответ:

$$ \rho(r,t)=\frac{vt}{2\pi(v^2t^2+r^2)^{3/2}} $$

Вот такая незатейливая задачка. Удивительно в ней то, что, по всей видимости, ее ни кто не решил до 1987 года, когда М.И.Дьяконов с А.С. Фурманом опубликовали это решение в ЖЭТФе (ЖЭТФ 92, 1012-1020 (March 1987)). Чем занимался народ предыдущие двести с лишним лет - непонятно. В этой статье есть опечатка (пропущено время в числителе последней формулы), которая ныне забавным образом кочует по другим работам. Кроме того, авторы сами обратили внимание на такое обстоятельство. У нас опять ни куда не вошла скорость света. А в данном случае ситуация серьёзнее, чем с релаксацией в объёме, но об этом чуть ниже. Если взять какие-нибудь рекордные подвижности в металлах или полупроводниковых гетерострукрурах, то $v$ окажется больше скорости света. Поэтому данная формула ограничена областью $v<c$. На эту тему возник легкий бум, и был исследован вопрос что же с этим делать (А.В.Чаплик, Письма в ЖЭТФ, том 101, вып.8, с.602–605; В.И Фалько, Д.Е. Хмельнцкий ЖЭТФ 95,1988-1992 (June 1989)), но про это я не буду, а то уже и так надоел.

Теперь последнее. О том, почему в трёхмерном случае мы не беспокоились о причинности, а тут вдруг заволновались. В первом случае результат был такой. Стоит длинная очередь, причем интервалы между стоящими везде одинаковые, кроме как в конце, где все стоят чуть по-плотнее. В какой то момент все посмотрели на часы и сделали одновременно один шаг, в конце - чуть побольше, в начале - чуть поменьше, а первый - вообще не сдвинулся. Вопрос - за какое время "плотность очереди" переместится на 100500 километров? Ответ - за время одного шага, какая бы не была длина очереди. Вопрос - могу я передавать таким способом сигналы? Ответ - естественно, не могу.

Теперь про двумерию. Возьмем металлический шар диаметром те самые 100500 километров, поднесем к нему заряд и будем наблюдать за результатом, сидя на противоположном конце диаметра шара. Внутри шара поле пропадет практически мгновенно, и когда я приложу заряд к поверхности, по поверхности побежит волна поверхностного заряда со скоростью $v$. Если все манипуляции с зарядами проделаны быстро, а шар большой, то электромагнитная волна еще долго будет его огибать, и поверхностная волна заряда имеет возможность прибежать раньше. Значит это решение, в отличии от Максвелловского, неточное. Все.

[wrest]

amon в сообщении #1230187 писал(а):

Вопрос - за какое время "плотность очереди" переместится на 100500 километров? Ответ - за время одного шага, какая бы не была длина очереди. Вопрос - могу я передавать таким способом сигналы? Ответ - естественно, не могу.

Это на случай когда заряд в центре диэлектрического шара был, все заряды по объему шара уже напряглись, а потом в шаре повсеместно и внезапно включили электропроводность.

Но в случае если внезапно включили заряд в центре металлического шара, поверхность шара узнает об этом самое раннее через $r/c$ так что раньше этого времени заряд на поверхности не всплывёт (а до этого интеграл напряженности по поверхности будет нулевой, хотя внутри поверхности заряд уже есть ;) ), а ваш первый пост был, как я понимаю, все-таки об этом.

-- 28.06.2017, 16:51 --

amon в сообщении #1230187 писал(а):

Внутри шара поле пропадет практически мгновенно,

Это что значит? Тот кто сидит внутри шара получит сверхсветовой сигнал о том что заряд коснулся поверхности шара?

amon в сообщении #1230187 писал(а):

Если все манипуляции с зарядами проделаны быстро, а шар большой, то электромагнитная волна еще долго будет его огибать, и поверхностная волна заряда имеет возможность прибежать раньше. Значит это решение, в отличии от Максвелловского, неточное. Все.

Туманно как-то, можете пояснее написать? Заранее спасибо.
Здесь кстати шар это или сфера -- значения не имеет? Или имеет?

[Munin]

amon в сообщении #1230187 писал(а):

Значит это решение, в отличии от Максвелловского, неточное.

Дык в чём же неточность? Всё рассказали, кроме отгадки :-)

[amon]

Munin в сообщении #1230205 писал(а):

Дык в чём же неточность? Всё рассказали, кроме отгадки

Дык, если в двух словах, в первом случае использовались релятивистски инвариантные уравнения Максвелла, а во втором - черте что и сбоку бантик, - потенциал в неинвариантной кулоновской калибровке, кусок уравнения непрерывности и прочее безобразие. Могло, конечно, и так получиться, но не повезло. Ещё о причинах недовольства ученых вторым результатом. В первом (трехмерном) случае параметром было время (в Гауссовой системе трехмерная проводимость имеет размерность обратного времени), то, что мы, поделив радиус на это время, получим скорость, так что поделим, то и получим. Если поделить среднее перемещение электрона, то получим более чем разумную цифру. В двумерии параметр - скорость (двумерная проводимость имеет размерность скорости), значит есть нечто материальное, распространяющееся со скоростью больше предельной, что не есть хорошо. Как улучшить ситуацию я пока не готов рассказывать - это поведет в дебри всяких плазмонов и дисперсий, а первую и вторую задачки могут решить все. Подобные поправки есть и для Максвелловской релаксации (так что, строго говоря, я слегка соврал, сказав что Максвелловское решение точное), но там сразу видно, что они малы.

[wrest]

amon
Так в итоге, если шар из меди радиусом одна световая секунда, гравитацией пренебрегаем. То какое будет время релаксации если в центре шара самовозникнет заряд?